Найди производную функцию f(x) = (6x) / √(x+1)

Привет! Сейчас помогу найти производную этой функции.

Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{6x}{\sqrt{x+1}}$, нам нужно использовать правило частного, которое говорит, что если у нас есть функция $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, то её производная $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$.

В нашем случае: $u(x) = 6x$ $v(x) = \sqrt{x+1}$

Сначала найдём производные $u(x)$ и $v(x)$.

Производная $u(x) = 6x$ равна: $u'(x) = 6$

Теперь найдём производную $v(x) = \sqrt{x+1}$. Это можно переписать как $v(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}}$. Используем правило цепочки: $v'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

Теперь подставим всё это в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{6 \cdot \sqrt{x+1} - 6x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{(\sqrt{x+1})^2}$

Упростим выражение:

$f'(x) = \frac{6\sqrt{x+1} - \frac{3x}{\sqrt{x+1}}}{x+1}$

Чтобы упростить ещё больше, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x+1}$:

$f'(x) = \frac{6(x+1) - 3x}{(x+1)\sqrt{x+1}}$

$f'(x) = \frac{6x + 6 - 3x}{(x+1)\sqrt{x+1}}$

$f'(x) = \frac{3x + 6}{(x+1)\sqrt{x+1}}$

$f'(x) = \frac{3(x + 2)}{(x+1)\sqrt{x+1}}$

Так что, производная функции $f(x) = \frac{6x}{\sqrt{x+1}}$ равна:

$$f'(x) = \frac{3(x + 2)}{(x+1)\sqrt{x+1}}$$

Ответ: $$f'(x) = \frac{3(x + 2)}{(x+1)\sqrt{x+1}}$$

Надеюсь, теперь тебе всё понятно!