Решение

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с этими задачами.

День 24. Среда. "Числовые и буквенные выражения"

Задание 24-1. Опровергнуть утверждение с помощью контрпримера:

а) Если $a + b > 0$, то $a$ и $b$ – положительные числа. Контрпример: $a = -1$, $b = 2$. Тогда $a + b = -1 + 2 = 1 > 0$, но $a$ – отрицательное число.

б) Если $ab > 0$, то $a$ и $b$ – положительные числа. Контрпример: $a = -1$, $b = -2$. Тогда $ab = (-1) \cdot (-2) = 2 > 0$, но $a$ и $b$ – отрицательные числа.

Задание 24-2. Выполнить задания и проиллюстрировать каждый случай конкретным примером:

а) Известно, что $a$ и $b$ – положительные целые числа, причем $a < b$. Сравните $-a$ и $-b$. Пример: $a = 2$, $b = 3$. Тогда $-a = -2$, $-b = -3$. Так как $-2 > -3$, то $-a > -b$.

б) Известно, что $a$ и $b$ – отрицательные целые числа, причем $a < b$. Сравните $-a$ и $-b$. Пример: $a = -3$, $b = -2$. Тогда $-a = 3$, $-b = 2$. Так как $3 > 2$, то $-a > -b$.

в) Известно, что $a$ и $b$ – целые числа разных знаков, причем $a < b$. Сравните $-a$ и $-b$. Пример: $a = -2$, $b = 3$. Тогда $-a = 2$, $-b = -3$. Так как $2 > -3$, то $-a > -b$.

День 25. Четверг. "Геометрические задачи"

Задача 25-1. Два угла имеют общую сторону $AM$. Какую градусную меру может иметь угол $BAC$, если угол $BAM$ равен $115°$, а угол $MAC$ равен $40°$? Сделайте чертеж.

Угол $BAC$ может быть либо суммой углов $BAM$ и $MAC$, либо их разностью, в зависимости от расположения лучей. 1) Если лучи $AM$ и $AB$ лежат по разные стороны от луча $AC$, то $\angle BAC = \angle BAM + \angle MAC = 115° + 40° = 155°$. 2) Если лучи $AM$ и $AB$ лежат по одну сторону от луча $AC$, то $\angle BAC = \angle BAM - \angle MAC = 115° - 40° = 75°$.

Задача 25-2. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна $2,8$ см, а другая – на $0,35$ см больше. Вторая сторона равна $2,8 + 0,35 = 3,15$ см. Площадь прямоугольника равна $2,8 \cdot 3,15 = 8,82$ см².

День 26. Пятница. "Старинные задачи"

Задача 26-1. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца съедят такой же воз сена?

Пусть весь воз сена – это 1. Тогда лошадь съедает $\frac{1}{1}$ воза в месяц, коза – $\frac{1}{2}$ воза в месяц, овца – $\frac{1}{3}$ воза в месяц. Вместе они съедают $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$ воза в месяц. Значит, весь воз они съедят за $\frac{1}{\frac{11}{6}} = \frac{6}{11}$ месяца.

Задача 26-2. Летели галки и сели на палки. Если на каждую палку сядет по галке, то одной галке не хватит палки, а если на каждую палку сядут по две галки, то одна палка останется без галок. Сколько было палок и сколько галок?

Пусть $x$ – количество палок. Тогда галок $x + 1$. Если на каждую палку сядут по две галки, то количество галок $2(x - 1)$. Получаем уравнение: $x + 1 = 2(x - 1)$. Решаем уравнение: $x + 1 = 2x - 2$, $x = 3$. Тогда галок $3 + 1 = 4$.

День 27. Суббота. "Комбинаторика и вероятность"

Задача 27-1. В среду в шестом классе должно быть 5 уроков: русский язык, математика, география, английский язык и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день, если математика должна быть первым уроком?

Так как математика должна быть первым уроком, то остается 4 предмета, которые нужно расставить на 4 оставшихся места. Количество вариантов: $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Задача 27-2. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

На каждом кубике 3 четные цифры (2, 4, 6) из 6 возможных. Вероятность выпадения четной цифры на одном кубике равна $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Вероятность выпадения двух четных цифр равна $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

День 28. Воскресенье. "Повторение теории и занимательная задача"

Задача 28-1. Повторите формулы для вычисления длины окружности и площади круга. Какие еще формулы вам известны?

Длина окружности: $C = 2\pi r$, где $r$ – радиус окружности. Площадь круга: $S = \pi r^2$.

Другие формулы: Площадь треугольника, объем куба, площадь поверхности сферы и т.д.

Задача 28-2. "Ежик". Вычислите сумму цифр, при помощи которых изображен ежик. При вычислении суммы слагаемыми считаются любые изображения цифры, в том числе и зеркальные отображения.

В ежике изображены цифры: 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1. Сумма цифр: $6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12$.

Надеюсь, теперь тебе все понятно!