Реши пж

Конечно, давай решим задания из тренировочной работы.

Задание 20:

Решить уравнение $(x - 1)(x^2 + 6x + 9) = 5(x + 3)$.

Заметим, что $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. Тогда уравнение можно переписать как:

$(x - 1)(x + 3)^2 = 5(x + 3)$.

Перенесем всё в левую часть:

$(x - 1)(x + 3)^2 - 5(x + 3) = 0$.

Вынесем $(x + 3)$ за скобки:

$(x + 3)((x - 1)(x + 3) - 5) = 0$.

Раскроем скобки во втором множителе:

$(x + 3)(x^2 + 3x - x - 3 - 5) = 0$.

$(x + 3)(x^2 + 2x - 8) = 0$.

Теперь решим уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$. Дискриминант равен:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни квадратного уравнения:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$.

Итак, уравнение имеет три корня: $x = -3$, $x = 2$ и $x = -4$.

Ответ: -3, 2, -4

Задание 21:

Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 195 км — со скоростью 65 км/ч, а последние 225 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Сначала найдем время, затраченное на каждый участок пути:

$t_1 = \frac{140}{70} = 2$ часа.

$t_2 = \frac{195}{65} = 3$ часа.

$t_3 = \frac{225}{75} = 3$ часа.

Общее время в пути: $t = t_1 + t_2 + t_3 = 2 + 3 + 3 = 8$ часов.

Общее расстояние: $S = 140 + 195 + 225 = 560$ км.

Средняя скорость: $V_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{560}{8} = 70$ км/ч.

Ответ: 70 км/ч

Задание 22:

Постройте график функции

$$ y = \begin{cases} x^2 + 6x + 9, & \text{если } x \ge -5 \ \frac{20}{x}, & \text{если } x < -5 \end{cases} $$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

1. Преобразуем первое выражение: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-3, 0)$. Рассмотрим участок параболы при $x \ge -5$.
2. Рассмотрим второе выражение: $y = \frac{20}{x}$. Это гипербола. Рассмотрим участок гиперболы при $x < -5$. При $x = -5$, $y = \frac{20}{-5} = -4$.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

• Прямая $y = m$ имеет одну общую точку с графиком, если она проходит через вершину параболы (кроме участка $x < -5$) или касается гиперболы. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$, значит, $m = 0$ даёт одну общую точку.
• При $x = -5$ значение первой функции $(x+3)^2 = (-5+3)^2 = 4$. Значение второй функции в этой точке равно $-4$.

Далее рассуждаем: * $m < -4$: одна точка (гипербола). * $m = -4$: нет точек. * $-4 < m < 0$: нет точек. * $m = 0$: одна точка. * $0 < m < 4$: две точки. * $m = 4$: одна точка. * $m > 4$: одна точка.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет одну общую точку при $m \le -4$, $m = 0$ и $m \ge 4$. Прямая $y=m$ имеет две общие точки при $0 < m < 4$.

Ответ: одна точка при $m \le -4$, $m = 0$ и $m \ge 4$; две точки при $0 < m < 4$.

Задание 23:

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Пусть $a = 16$ — катет, $c = 34$ — гипотенуза. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$.

$16^2 + b^2 = 34^2$.

$256 + b^2 = 1156$.

$b^2 = 1156 - 256 = 900$.

$b = \sqrt{900} = 30$.

Площадь треугольника можно найти двумя способами: $S = \frac{1}{2}ab$ или $S = \frac{1}{2}ch$, где $h$ — высота, проведённая к гипотенузе.

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$.

$ab = ch$.

$16 \cdot 30 = 34h$.

$480 = 34h$.

$h = \frac{480}{34} = \frac{240}{17} \approx 14.12$.

Ответ: $\frac{240}{17}$

Задание 24:

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $BB_1A_1$ и $BAA_1$ равны.

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1AB$. Так как $AA_1$ и $BB_1$ высоты, то $\angle AA_1B = 90^\circ$ и $\angle BB_1A = 90^\circ$. Значит, точки $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB$. Следовательно, четырехугольник $A_1B_1AB$ — вписанный.

Углы $BB_1A_1$ и $BAA_1$ опираются на одну и ту же дугу $A_1B_1$. В вписанном четырехугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle BB_1A_1 = \angle BAA_1$.

Что и требовалось доказать.

Задание 25:

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 18$, $AC = 36$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Эта задача требует дополнительного рисунка и более глубокого анализа геометрических свойств. К сожалению, без рисунка сложно дать точное решение.