Решить

Конечно, давай сократим эти дроби!

1)

Для начала, представим 18 как 2 * 3^2. Тогда 18^(n+3) = (2 * 3^2)^(n+3) = 2^(n+3) * 3^(2n+6).

Теперь дробь выглядит так: (2^(n+3) * 3^(2n+6)) / (3^(2n+5) * 2^(n-2)).

Сокращаем степени с одинаковыми основаниями: 2^(n+3 - (n-2)) * 3^(2n+6 - (2n+5)) = 2^(n+3-n+2) * 3^(2n+6-2n-5) = 2^5 * 3^1 = 32 * 3 = 96.

Ответ: 96

2)

Представим 20 как 4 * 5 = 2^2 * 5. Тогда 20^n = (2^2 * 5)^n = 2^(2n) * 5^n.

Дробь: (2^(2n) * 5^n) / (2^(2n-1) * 5^(n-2)).

Сокращаем степени: 2^(2n - (2n-1)) * 5^(n - (n-2)) = 2^(2n-2n+1) * 5^(n-n+2) = 2^1 * 5^2 = 2 * 25 = 50.

Ответ: 50

3)

Вынесем общий множитель 5^(n-1) в числителе: 5^(n+1) - 5^(n-1) = 5^(n-1) * (5^2 - 1) = 5^(n-1) * (25 - 1) = 5^(n-1) * 24.

Дробь: (5^(n-1) * 24) / (2 * 5^n).

Сокращаем: 24 / (2 * 5^(n - (n-1))) = 24 / (2 * 5^(n - n + 1)) = 24 / (2 * 5) = 24 / 10 = 2.4.

Ответ: 2.4

4)

В числителе вынесем общий множитель a^(n-1) * b^(n+1): a^(3n-1) * b^(n+1) - 4 * a^(n-1) * b^(n+1) = a^(n-1) * b^(n+1) * (a^(2n) - 4).

В знаменателе вынесем общий множитель a^n * b^(n-1): 4 * a^n * b^(n-1) - 4 * a^(2n) * b^(n-1) + a^(3n) * b^(n-1) = a^n * b^(n-1) * (4 - 4 * a^n + a^(2n)).

Дробь: (a^(n-1) * b^(n+1) * (a^(2n) - 4)) / (a^n * b^(n-1) * (a^(2n) - 4 * a^n + 4)).

Заметим, что a^(2n) - 4 = (a^n - 2) * (a^n + 2) и a^(2n) - 4 * a^n + 4 = (a^n - 2)^2.

Тогда дробь: (a^(n-1) * b^(n+1) * (a^n - 2) * (a^n + 2)) / (a^n * b^(n-1) * (a^n - 2)^2).

Сокращаем: (b^2 * (a^n + 2)) / (a * (a^n - 2)).

Ответ: (b^2 * (a^n + 2)) / (a * (a^n - 2))

5)

В числителе вынесем общий множитель 6 * x * y^(2n) * z^n: 54 * x * y^(3n) * z^n - 72 * x^(n+1) * y^(2n) * z^n + 24 * x^(2n+1) * y^n * z^n = 6 * x * y^n * z^n * (9 * y^(2n) - 12 * x^n * y^n + 4 * x^(2n)).

В знаменателе вынесем общий множитель 3 * x^2 * y^(n-1) * z^(n+1): 12 * x^(2n+2) * y^(n-1) * z^(n+1) - 27 * x^2 * y^(3n-1) * z^(n+1) = 3 * x^2 * y^(n-1) * z^(n+1) * (4 * x^(2n) - 9 * y^(2n)).

Дробь: (6 * x * y^n * z^n * (9 * y^(2n) - 12 * x^n * y^n + 4 * x^(2n))) / (3 * x^2 * y^(n-1) * z^(n+1) * (4 * x^(2n) - 9 * y^(2n))).

Заметим, что 9 * y^(2n) - 12 * x^n * y^n + 4 * x^(2n) = (3 * y^n - 2 * x^n)^2 и 4 * x^(2n) - 9 * y^(2n) = (2 * x^n - 3 * y^n) * (2 * x^n + 3 * y^n).

Тогда дробь: (2 * y * (3 * y^n - 2 * x^n)^2) / (x * z * (2 * x^n - 3 * y^n) * (2 * x^n + 3 * y^n)).

Так как (3 * y^n - 2 * x^n) = -(2 * x^n - 3 * y^n), то (3 * y^n - 2 * x^n)^2 = (2 * x^n - 3 * y^n)^2.

Сокращаем: (2 * y * (2 * x^n - 3 * y^n)) / (x * z * (2 * x^n + 3 * y^n)).

Ответ: (2 * y * (2 * x^n - 3 * y^n)) / (x * z * (2 * x^n + 3 * y^n))

6)

В числителе разность кубов: a^(3n) - b^(6n) = (a^n - b^(2n)) * (a^(2n) + a^n * b^(2n) + b^(4n)).

В знаменателе разность квадратов: (a^(2n) - b^(4n)) = (a^n - b^(2n)) * (a^n + b^(2n)).

Дробь: ((a^n - b^(2n)) * (a^(2n) + a^n * b^(2n) + b^(4n))) / ((a^n - b^(2n)) * (a^n + b^(2n)) * (a^(2n+1) + a^(n+1) * b^(2n) + a * b^(4n))).

Вынесем a из последнего множителя в знаменателе: a^(2n+1) + a^(n+1) * b^(2n) + a * b^(4n) = a * (a^(2n) + a^n * b^(2n) + b^(4n)).

Дробь: ((a^n - b^(2n)) * (a^(2n) + a^n * b^(2n) + b^(4n))) / ((a^n - b^(2n)) * (a^n + b^(2n)) * a * (a^(2n) + a^n * b^(2n) + b^(4n))).

Сокращаем: 1 / (a * (a^n + b^(2n))).

Ответ: 1 / (a * (a^n + b^(2n)))

Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!