Решить уравнение

Привет! Давай решим это уравнение вместе.

У нас есть уравнение: log3(x - 2) + log3(x + 6) = 2

Чтобы решить его, нужно вспомнить свойства логарифмов. Сумма логарифмов равна логарифму произведения:

loga(b) + loga(c) = loga(b * c)

Применим это свойство к нашему уравнению:

log3((x - 2) * (x + 6)) = 2

Теперь избавимся от логарифма. Вспоминаем, что если loga(b) = c, то b = ac. В нашем случае:

(x - 2) * (x + 6) = 32

(x - 2) * (x + 6) = 9

Раскроем скобки:

x2 + 6x - 2x - 12 = 9

x2 + 4x - 12 = 9

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

x2 + 4x - 12 - 9 = 0

x2 + 4x - 21 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта:

D = b2 - 4ac

x = (-b ± √D) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 4, c = -21. Подставляем значения:

D = 42 - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100

√D = √100 = 10

Теперь найдем корни:

x1 = (-4 + 10) / 2 = 6 / 2 = 3

x2 = (-4 - 10) / 2 = -14 / 2 = -7

Теперь нужно проверить корни, потому что логарифм существует только от положительных чисел. Подставим каждый корень в исходное уравнение:

Для x1 = 3:

log3(3 - 2) + log3(3 + 6) = log3(1) + log3(9) = 0 + 2 = 2. Подходит!

Для x2 = -7:

log3(-7 - 2) + log3(-7 + 6) = log3(-9) + log3(-1). Не подходит, так как логарифм от отрицательного числа не существует.

Значит, корень x = -7 не является решением.

Ответ: x = 3