Реши подробно

Привет! Давай подробно решим эту задачу. Нам нужно найти производную заданной кусочной функции в точке x₀ = 2.

1. Анализ функции:

Функция f(x) задана двумя разными выражениями в зависимости от значения x:

• Если x ≤ 2, то f(x) = x² - 2
• Если x > 2, то f(x) = 4x - 6

2. Находим производные каждой части:

Сначала найдем производные каждой из этих частей:

• Производная от x² - 2 равна 2x.
• Производная от 4x - 6 равна 4.

3. Проверяем непрерывность функции в точке x = 2:

Чтобы функция имела производную в точке x = 2, она должна быть непрерывной в этой точке. Проверим это:

• Значение функции при x = 2 (используем первую часть, т.к. x ≤ 2): f(2) = 2² - 2 = 4 - 2 = 2

• Предел функции при x, стремящемся к 2 справа (используем вторую часть, т.к. x > 2): lim(x→2+) (4x - 6) = 4 * 2 - 6 = 8 - 6 = 2

Так как значение функции в точке x = 2 и предел справа равны, функция непрерывна в этой точке.

4. Вычисляем односторонние производные:

Теперь найдем односторонние производные:

• Производная слева (используем производную первой части, 2x): f'(2-) = 2 * 2 = 4

• Производная справа (используем производную второй части, 4): f'(2+) = 4

5. Сравниваем односторонние производные:

Так как производная слева f'(2-) равна производной справа f'(2+), то функция имеет производную в точке x = 2, и она равна 4.

Ответ: f'(2) = 4