№1. Вычислите: а) 4^(3/2) * 4^(2/3) : 4^(4/3) б) 8 - корень кубический из 72 : корень кубический из 9

№1. а) $4^{\frac{3}{2}} \cdot 4^{\frac{2}{3}} : 4^{\frac{4}{3}} = 4^{\frac{3}{2} + \frac{2}{3} - \frac{4}{3}} = 4^{\frac{9+4-8}{6}} = 4^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{4^5} = \sqrt[6]{1024}$. б) $8 - \sqrt[3]{72} : \sqrt[3]{9} = 8 - \sqrt[3]{72:9} = 8 - \sqrt[3]{8} = 8 - 2 = 6$. №2. $\frac{-26 \cos 57^\circ}{\cos 123^\circ}$. Так как $\cos 123^\circ = \cos(180^\circ - 57^\circ) = -\cos 57^\circ$, получаем: $\frac{-26 \cos 57^\circ}{-\cos 57^\circ} = 26$. №3. $\frac{3x-1}{x^2} - \frac{x-9}{3x} = \frac{3(3x-1) - x(x-9)}{3x^2} = \frac{9x-3-x^2+9x}{3x^2} = \frac{-x^2+18x-3}{3x^2}$. №4. $5 \operatorname{tg} x - \frac{4}{\operatorname{tg} x} + 8 = 0$. Пусть $\operatorname{tg} x = t$. $5t - \frac{4}{t} + 8 = 0 \Rightarrow 5t^2 + 8t - 4 = 0$. Дискриминант $D = 64 - 4(5)(-4) = 144$. $t_1 = \frac{-8+12}{10} = 0,4$; $t_2 = \frac{-8-12}{10} = -2$. Ответ: $\operatorname{arctg} 0,4 + \pi k$; $-\operatorname{arctg} 2 + \pi k$. №5. $\sqrt{x+6} \cdot \sqrt{2-x} + 2x = 0$. ОДЗ: $-6 \le x \le 2$. $\sqrt{(x+6)(2-x)} = -2x$. Возводим в квадрат: $-x^2 - 4x + 12 = 4x^2 \Rightarrow 5x^2 + 4x - 12 = 0$. $D = 16 - 4(5)(-12) = 256$. $x_1 = \frac{-4+16}{10} = 1,2$ (подходит); $x_2 = \frac{-4-16}{10} = -2$. Проверка $x_2=-2$: $\sqrt{4}\sqrt{4} + 2(-2) = 2\cdot 2 - 4 = 0$. Оба корня подходят. №6. $\log_5 x = 2\log_5 3 + \frac{1}{2}\log_5 49 - \frac{1}{3}\log_5 27 = \log_5(3^2) + \log_5(\sqrt{49}) - \log_5(\sqrt[3]{27}) = \log_5 9 + \log_5 7 - \log_5 3 = \log_5(\frac{9 \cdot 7}{3}) = \log_5 21$. $x = 21$. №7. $2\sin^2 x + 11\sin x \cos x + 14\cos^2 x = 0$. Делим на $\cos^2 x$: $2\operatorname{tg}^2 x + 11\operatorname{tg} x + 14 = 0$. $D = 121 - 4(2)(14) = 121 - 112 = 9$. $\operatorname{tg} x = \frac{-11 \pm 3}{4}$. $t_1 = -2$, $t_2 = -3,5$. Тождество неверно для всех $x$, выполняется только при конкретных значениях. №8. $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x+1}{x-3} = \frac{2^2-2+1}{2-3} = \frac{3}{-1} = -3$. №9. $\vec{a}(-4; 1; 5)$, $\vec{b}(3; -5; -1)$. $2\vec{a} - \vec{b} = (2(-4)-3; 2(1)-(-5); 2(5)-(-1)) = (-11; 7; 11)$. Длина: $\sqrt{(-11)^2 + 7^2 + 11^2} = \sqrt{121+49+121} = \sqrt{291}$. №10. Диаметр $d=6 \Rightarrow R=3$. Угол при вершине $90^\circ$, значит осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота $h$ опущенная на гипотенузу (диаметр) делит ее пополам, $h = R = 3$. $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi$. Деленное на $\pi$: $9$. №11. а) $\int (x^2+4x+1)dx = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + x + C$. б) $\int_{-2}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1)dx = [x^4 - x^3 + x^2 + x]_{-2}^{3} = (81-27+9+3) - (16-(-8)+4-2) = 66 - 26 = 40$. №12. $S = \int_{-1}^{0} (1-x^3)dx = [x - \frac{x^4}{4}]_{-1}^{0} = 0 - (-1 - \frac{1}{4}) = 1,25$. №13. $f'(x) = 3x^2 - 8x$. $3x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(3x-8) = 0$. Критические точки: $x=0$, $x=\frac{8}{3}$. $f(0)=7$ (max), $f(\frac{8}{3}) \approx -2,48$ (min). №14. $f(x) = (x-2)^2 - 1 = x^2-4x+3$. $F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C$. $F(0)=7 \Rightarrow C=7$. $F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 7$. №15. $S(t) = 2t^3 + 0,5t^2 - t$. Скорость $v(t) = S'(t) = 6t^2 + t - 1$. При $t_0=3$: $v(3) = 6(9) + 3 - 1 = 56$. Ускорение $a(t) = v'(t) = 12t + 1$. При $t_0=3$: $a(3) = 12(3) + 1 = 37$.