Выбери правильный ответ

Хорошо, давай разберем задания из твоего учебника.

1. Выберите систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

Линейное уравнение – это уравнение, где переменные (обычно x и y) в первой степени и нет их произведения.

• а) {x + y² = 7, x - y = 5;} – Здесь есть y², значит, это не линейное уравнение.
• б) {x³ + y = 7, x + 2y = 7;} – Здесь есть x³, значит, это тоже не линейное уравнение.
• в) {y + x = -7, x - y/3 = 7;} – Вот здесь оба уравнения линейные, так как x и y в первой степени.

Ответ: В

2. Какая пара чисел является решением системы уравнений {11x + 4y = 17, 9x + 2y = 5:}

Нужно подставить каждую пару чисел в оба уравнения и проверить, выполняется ли равенство.

• а) (-1; 7):
  • 11(-1) + 47 = -11 + 28 = 17 (верно)
  • 9(-1) + 27 = -9 + 14 = 5 (верно)
• б) (3; -4):
  • 11(3) + 4(-4) = 33 - 16 = 17 (верно)
  • 9(3) + 2(-4) = 27 - 8 = 19 (не равно 5, неверно)
• в) (-5; 2):
  • 11(-5) + 4(2) = -55 + 8 = -47 (не равно 17, неверно)
• г) (5; -3):
  • 11(5) + 4(-3) = 55 - 12 = 43 (не равно 17, неверно)

Ответ: А

3. Решите систему уравнений {2x + 3y = 1, y = 5.}

Тут все просто! Мы уже знаем, что y = 5. Подставим это значение в первое уравнение:

2x + 35 = 1 2x + 15 = 1 2x = 1 - 15 2*x = -14 x = -14 / 2 x = -7

Ответ: x = -7, y = 5

4. Решите способом подстановки систему уравнений {2x + 7y = 6, x - 3y = -10.}

Выразим x из второго уравнения: x = 3*y - 10

Подставим это выражение в первое уравнение: 2(3y - 10) + 7y = 6 6y - 20 + 7y = 6 13y = 26 y = 2

Теперь найдем x: x = 3*2 - 10 x = 6 - 10 x = -4

Ответ: x = -4, y = 2

5. Решите способом сложения систему уравнений {5x + 3y = 7, 4x - 3y = 2.}

Сложим оба уравнения:

(5x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 2 9*x = 9 x = 1

Теперь подставим x в первое уравнение:

51 + 3y = 7 3*y = 2 y = 2/3

Ответ: x = 1, y = 2/3

6. Постройте графики уравнений системы {x + y = -4, x - y = -3.} и определите число решений системы

Чтобы построить графики, нужно выразить y через x в обоих уравнениях:

• y = -x - 4
• y = x + 3

Теперь можно нарисовать эти прямые на координатной плоскости. Прямая y = -x - 4 пересекает ось y в точке -4 и имеет наклон -1. Прямая y = x + 3 пересекает ось y в точке 3 и имеет наклон 1.

Точка пересечения этих прямых и будет решением системы. Чтобы её найти, можно приравнять правые части уравнений:

-x - 4 = x + 3 -2x = 7 x = -3.5

Подставим x в одно из уравнений, чтобы найти y: y = -(-3.5) - 4 y = 3.5 - 4 y = -0.5

Система имеет одно решение, так как прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: Система имеет одно решение: x = -3.5, y = -0.5

7. Решите систему уравнений {(x+y)/8 + (x-y)/6 = 4, (3x+y)/4 - (2x-5y)/3 = 5.}

Умножим первое уравнение на 24 (наименьшее общее кратное 8 и 6), а второе на 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3) чтобы избавиться от дробей:

• 3(x + y) + 4(x - y) = 96
• 3(3x + y) - 4(2x - 5y) = 60

Раскроем скобки:

• 3x + 3y + 4x - 4y = 96
• 9x + 3y - 8x + 20y = 60

Упростим:

• 7x - y = 96
• x + 23y = 60

Теперь выразим x из второго уравнения: x = 60 - 23y

И подставим в первое: 7*(60 - 23y) - y = 96 420 - 161y - y = 96 -162y = -324 y = 2

Теперь найдем x: x = 60 - 23*2 x = 60 - 46 x = 14

Ответ: x = 14, y = 2

8. График линейной функции проходит через точки A(4; -5) и B(-2; 19). Задайте эту функцию формулой.

Линейная функция имеет вид y = kx + b. Нам нужно найти k (наклон) и b (смещение).

k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (19 - (-5)) / (-2 - 4) = 24 / -6 = -4

Теперь подставим координаты точки A (4; -5) и k = -4 в уравнение y = kx + b: -5 = -4*4 + b -5 = -16 + b b = 11

Значит, формула функции: y = -4x + 11

Ответ: y = -4x + 11

9. Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3x + y = 26 и 15 - (x - 3y) = 2x + 5.

Сначала упростим второе уравнение: 15 - x + 3y = 2x + 5 3x - 3y = 10

Теперь у нас есть система: {3x + y = 26, 3x - 3y = 10.}

Выразим y из первого уравнения: y = 26 - 3x

Подставим во второе: 3x - 3(26 - 3x) = 10 3x - 78 + 9x = 10 12x = 88 x = 88/12 = 22/3

Теперь найдем y: y = 26 - 3*(22/3) y = 26 - 22 y = 4

Ответ: x = 22/3, y = 4

10. Решите уравнение (x - y)² + |x + y - 4| = 0.

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Модуль любого числа тоже всегда больше или равен нулю. Значит, чтобы сумма была равна нулю, оба слагаемых должны быть равны нулю:

• (x - y)² = 0
• |x + y - 4| = 0

Из первого уравнения следует, что x - y = 0, то есть x = y. Из второго уравнения следует, что x + y - 4 = 0.

Подставим x = y во второе уравнение: x + x - 4 = 0 2x = 4 x = 2

Так как x = y, то и y = 2.

Ответ: x = 2, y = 2

Надеюсь, теперь тебе все понятно! Если остались вопросы, задавай.