Реши все задания из карточки, по отдельности, теоремы тоже пиши максимально кратко пожалуйста, пиши теоремы

Привет! Давай разберем все задания по порядку.

Карточка 9

1. Теорема о единственности перпендикуляра: Из данной точки вне прямой можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

2. Неравенство треугольника: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

3. На рисунке AB = CD, BD = AC. Докажите, что ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠ABD, если ∠ACD = 70°.

   • Доказательство ∠CAD = ∠ADB:

     Рассмотрим треугольники ABC и DCB. У них AB = CD, AC = BD, BC - общая сторона. Значит, треугольники ABC и DCB равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует, что ∠ACB = ∠DBC. ∠ACD = ∠ACB - ∠DCB, ∠DBC = ∠ABD - ∠ABC. Так как ∠ACB = ∠DBC, то ∠ACD = ∠ABD. Рассмотрим треугольники ACD и ADB. У них AC = BD, AD - общая сторона, ∠ACD = ∠ABD. Значит, треугольники ACD и ADB равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что ∠CAD = ∠ADB.

   • Найти ∠ABD:

     Так как AB = CD и AC = BD, то трапеция ABCD - равнобедренная. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть ∠BAD = ∠CDA и ∠ABC = ∠DCB. Так как ∠ACD = 70°, то ∠BDC = 70°. ∠CDA = ∠ACD + ∠CAD = 70° + ∠CAD. ∠DCB = ∠BCD + ∠DCA = ∠BCD + 70°. ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = ∠ABC - ∠ACD. Но ∠ABC = ∠DCB, то есть ∠ABC = ∠BCD + 70°. Углы ∠BAD и ∠CDA равны. ∠CAD = ∠ADB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. ∠BAD + ∠CDA + ∠ABC + ∠BCD = 360°. ∠BAD + ∠CDA = 360° - (∠ABC + ∠BCD). ∠BAD = ∠CDA = (360° - (∠ABC + ∠BCD)) / 2. ∠CDA = ∠ACD + ∠CAD. ∠CAD = ∠CDA - ∠ACD. ∠CAD = (360° - (∠ABC + ∠BCD)) / 2 - 70°. Так как ∠ACD = ∠ABD, то ∠ABD = 70°.

     Ответ: ∠ABD = 70°

Карточка 10

1. Определение равнобедренного треугольника: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Теорема о свойствах углов при его основании: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

3. На рисунке ∠DBC = ∠CAD, BO = AO. Докажите, что ∠C = ∠D. Найдите AC, если BD = 12 см.

   • Доказательство ∠C = ∠D:

     Рассмотрим треугольники AOD и BOC. У них AO = BO, ∠DBC = ∠CAD. Значит, треугольники AOD и BOC равнобедренные. ∠AOD = ∠BOC как вертикальные углы. Так как AO = BO и ∠AOD = ∠BOC, то треугольники AOD и BOC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что ∠C = ∠D.

   • Найти AC:

     Треугольники AOD и BOC равны, значит, CO = DO. AC = AO + OC, BD = BO + OD. Так как AO = BO и CO = DO, то AC = BD. Если BD = 12 см, то AC = 12 см.

     Ответ: AC = 12 см

Карточка 11

1. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. Понятие окружности:

   • Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (центра).
   • Диаметр - отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр.
   • Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.
   • Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности.
   • Дуга окружности - часть окружности, ограниченная двумя точками на окружности.

3. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза меньше, чем угол при вершине. Найдите все углы треугольника.

   Пусть угол при основании равен x, тогда угол при вершине равен 2x. Сумма углов в треугольнике равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть два угла по x, а угол при вершине 2x. x + x + 2x = 180° 4x = 180° x = 45° Угол при вершине: 2x = 2 * 45° = 90°

   Ответ: Углы треугольника: 45°, 45°, 90°

Надеюсь, всё понятно! Если есть ещё вопросы, спрашивай!