Докажите что если хорды окружности равноудалены от её центры то они равны

Question

Вопрос:

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай докажем это утверждение.

Дано:

Окружность с центром в точке O.
Хорды AB и CD.
Расстояния от центра O до хорд AB и CD равны, то есть OK = OL, где K и L – основания перпендикуляров, опущенных из O на AB и CD соответственно.

Нужно доказать:

Доказательство:

Рассмотрим треугольники OKA и OLC. Они прямоугольные, так как OK и OL – перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно.
OK = OL (по условию).
OA = OC (как радиусы одной и той же окружности).
Следовательно, треугольники OKA и OLC равны по гипотенузе и катету.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK = CL.
Так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам, то AB = 2 * AK и CD = 2 * CL.
Поскольку AK = CL, то 2 * AK = 2 * CL, следовательно, AB = CD.

Вывод:

Если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.