ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.51

**1)** $x^2 - 3x - 4 > 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 4 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 4 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (x + 1)(x - 4) > 0 $$ Ветви параболы направлены вверх, трехчлен положителен вне отрезка между корнями. **Ответ:** $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$ --- **2)** $x^2 - 5x - 6 \leqslant 0$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 6 $$ Разложим на множители: $$ (x + 1)(x - 6) \leqslant 0 $$ Ветви параболы направлены вверх, выражение неположительно на отрезке между корнями, включая границы. **Ответ:** $x \in [-1; 6]$ --- **3)** $x^2 \geqslant 16$ Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу разности квадратов: $$ x^2 - 16 \geqslant 0 $$ $$ (x - 4)(x + 4) \geqslant 0 $$ Нули функции: $x = -4$ и $x = 4$. Применяя метод интервалов, получаем: $$ x \leqslant -4 \quad \text{или} \quad x \geqslant 4 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$ --- **4)** $|x^2 - 7x + 5| \geqslant 5$ Неравенство вида $|f(x)| \geqslant a$ при $a > 0$ равносильно совокупности: $$ \left[ \begin{gathered} x^2 - 7x + 5 \geqslant 5 \\ x^2 - 7x + 5 \leqslant -5 \end{gathered} \right. $$ Решим каждое неравенство отдельно: 1. $x^2 - 7x + 5 \geqslant 5$ $$ x^2 - 7x \geqslant 0 $$ $$ x(x - 7) \geqslant 0 \implies x \in (-\infty; 0] \cup [7; +\infty) $$ 2. $x^2 - 7x + 5 \leqslant -5$ $$ x^2 - 7x + 10 \leqslant 0 $$ Корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$. $$ (x - 2)(x - 5) \leqslant 0 \implies x \in [2; 5] $$ Объединяем решения: $$ x \in (-\infty; 0] \cup [2; 5] \cup [7; +\infty) $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; 0] \cup [2; 5] \cup [7; +\infty)$ --- **5)** $|x^2 - 3x| \leqslant x$ Неравенство вида $|f(x)| \leqslant g(x)$ равносильно двойному неравенству $-g(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)$, то есть системе: $$ \begin{cases} x^2 - 3x \leqslant x \\ x^2 - 3x \geqslant -x \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 4x \leqslant 0 $$ $$ x(x - 4) \leqslant 0 \implies x \in [0; 4] $$ Решим второе неравенство системы: $$ x^2 - 2x \geqslant 0 $$ $$ x(x - 2) \geqslant 0 \implies x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty) $$ Найдем пересечение решений обоих неравенств: $$ [0; 4] \cap \bigl((-\infty; 0] \cup [2; +\infty)\bigr) = \{0\} \cup [2; 4] $$ **Ответ:** $x \in \{0\} \cup [2; 4]$ --- **6)** $|x^2 - 3x| > x$ Рассмотрим два случая: 1. Если $x < 0$, то левая часть $|x^2 - 3x| \geqslant 0$, а правая часть $x < 0$. Неравенство верно при всех $x < 0$. 2. Если $x \geqslant 0$, то неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности: $$ \left[ \begin{gathered} x^2 - 3x > x \\ x^2 - 3x < -x \end{gathered} \right. $$ Решаем первое неравенство: $$ x^2 - 4x > 0 \implies x(x - 4) > 0 \implies x < 0 \quad \text{или} \quad x > 4 $$ С учетом условия $x \geqslant 0$ получаем: $x > 4$. Решаем второе неравенство: $$ x^2 - 2x < 0 \implies x(x - 2) < 0 \implies 0 < x < 2 $$ С учетом условия $x \geqslant 0$ получаем: $0 < x < 2$. Объединяем решения всех случаев: $x < 0$, $0 < x < 2$, $x > 4$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (4; +\infty)$