ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 2 - 2.17

Трехзначные числа — это целые числа от $100$ до $999$. Обозначим: - $A$ — множество трехзначных чисел, делящихся на 2; - $B$ — множество трехзначных чисел, делящихся на 5; - $C$ — множество трехзначных чисел, делящихся на 7. Чтобы найти количество трехзначных чисел, делящихся хотя бы на одно из чисел 2, 5 или 7, применим формулу включений-исключений: $$ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$ Количество трехзначных чисел, делящихся на натуральное число $k$, можно вычислить по формуле: $N(k) = \left\lfloor \frac{999}{k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{k} \right\rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа. 1. Числа, делящиеся на 2: $$ |A| = \left\lfloor \frac{999}{2} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{2} \right\rfloor = 499 - 49 = 450 $$ 2. Числа, делящиеся на 5: $$ |B| = \left\lfloor \frac{999}{5} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{5} \right\rfloor = 199 - 19 = 180 $$ 3. Числа, делящиеся на 7: $$ |C| = \left\lfloor \frac{999}{7} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{7} \right\rfloor = 142 - 14 = 128 $$ 4. Числа, делящиеся одновременно на 2 и на 5 (то есть кратные $\text{НОК}(2, 5) = 10$): $$ |A \cap B| = \left\lfloor \frac{999}{10} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{10} \right\rfloor = 99 - 9 = 90 $$ 5. Числа, делящиеся одновременно на 2 и на 7 (то есть кратные $\text{НОК}(2, 7) = 14$): $$ |A \cap C| = \left\lfloor \frac{999}{14} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{14} \right\rfloor = 71 - 7 = 64 $$ 6. Числа, делящиеся одновременно на 5 и на 7 (то есть кратные $\text{НОК}(5, 7) = 35$): $$ |B \cap C| = \left\lfloor \frac{999}{35} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{35} \right\rfloor = 28 - 2 = 26 $$ 7. Числа, делящиеся одновременно на 2, 5 и 7 (то есть кратные $\text{НОК}(2, 5, 7) = 70$): $$ |A \cap B \cap C| = \left\lfloor \frac{999}{70} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{70} \right\rfloor = 14 - 1 = 13 $$ Подставим полученные значения в формулу включений-исключений: $$ |A \cup B \cup C| = 450 + 180 + 128 - 90 - 64 - 26 + 13 = 591 $$ Ответ: 591