ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 842

Пусть $v$ — собственная скорость буксира на участке $AB$, а $u$ — скорость течения реки в направлении от $A$ к $C$. Тогда по условию: * собственная скорость буксира на участке $BC$ равна $1\frac{2}{3}v = \frac{5}{3}v$; * собственная скорость буксира на обратном пути от $C$ до $A$ равна $2v$. Запишем скорости движения буксира относительно берега: * при движении из $A$ в $B$: $v + u$; * при движении из $B$ в $C$: $\frac{5}{3}v + u$; * при движении из $C$ в $A$: $2v - u$; * при гипотетическом движении из $C$ в $B$: $\frac{5}{3}v - u$. Пусть $s_1$ — расстояние между пунктами $A$ и $B$, а $s_2$ — расстояние между пунктами $B$ и $C$. 1. Обратный путь от $C$ до $A$ буксир прошёл за 4 ч: $$ s_1 + s_2 = 4(2v - u) = 8v - 4u $$ 2. В гипотетическом случае участок от $C$ до $B$ буксир прошёл бы за 3 ч: $$ s_2 = 3\left(\frac{5}{3}v - u\right) = 5v - 3u $$ 3. Найдём расстояние $s_1$: $$ s_1 = (s_1 + s_2) - s_2 = (8v - 4u) - (5v - 3u) = 3v - u $$ 4. Время движения от $A$ до $C$ составляет 4 ч и складывается из времени движения на участках $AB$ и $BC$: $$ \frac{s_1}{v + u} + \frac{s_2}{\frac{5}{3}v + u} = 4 $$ $$ \frac{3v - u}{v + u} + \frac{3(5v - 3u)}{5v + 3u} = 4 $$ Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $v$ и введём замену $k = \frac{u}{v}$: $$ \frac{3 - k}{1 + k} + \frac{15 - 9k}{5 + 3k} = 4 $$ Приведём уравнение к общему знаменателю $(1 + k)(5 + 3k) \neq 0$: $$ (3 - k)(5 + 3k) + (15 - 9k)(1 + k) = 4(1 + k)(5 + 3k) $$ Раскроем скобки: $$ (15 + 4k - 3k^2) + (15 + 6k - 9k^2) = 4(3k^2 + 8k + 5) $$ $$ 30 + 10k - 12k^2 = 12k^2 + 32k + 20 $$ $$ 24k^2 + 22k - 10 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ 12k^2 + 11k - 5 = 0 $$ $$ D = 11^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 121 + 240 = 361 = 19^2 $$ $$ k_1 = \frac{-11 + 19}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} $$ $$ k_2 = \frac{-11 - 19}{24} = -\frac{30}{24} = -\frac{5}{4} $$ Корень $k = -\frac{5}{4}$ не удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае скорость буксира на участке $AB$ относительно берега $v + u = v\left(1 - \frac{5}{4}\right) = -\frac{1}{4}v < 0$, то есть буксир не мог бы плыть от $A$ к $B$. Значит, $k = \frac{1}{3}$, то есть $u = \frac{1}{3}v$. 5. Найдём время движения буксира от $A$ до $B$: $$ t_{AB} = \frac{s_1}{v + u} = \frac{3v - \frac{1}{3}v}{v + \frac{1}{3}v} = \frac{\frac{8}{3}v}{\frac{4}{3}v} = 2\text{ (ч)} $$ Ответ: 2 ч.