ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 798

**1)** Докажем неравенство: $$ x^2 + 4y^2 - 2x - 16y + 17 \geqslant 0 $$ Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, и слагаемые, содержащие переменную $y$, после чего выделим полные квадраты: $$ (x^2 - 2x) + (4y^2 - 16y) + 17 \geqslant 0 $$ Дополним выражение в первых скобках до полного квадрата разности: $$ x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1 $$ Во вторых скобках вынесем множитель $4$ за скобки и также дополним до полного квадрата разности: $$ 4y^2 - 16y = 4(y^2 - 4y) = 4((y^2 - 4y + 4) - 4) = 4(y - 2)^2 - 16 $$ Подставим полученные выражения в исходную левую часть неравенства: $$ (x - 1)^2 - 1 + 4(y - 2)^2 - 16 + 17 = (x - 1)^2 + 4(y - 2)^2 + (-1 - 16 + 17) = (x - 1)^2 + 4(y - 2)^2 $$ Таким образом, исходное неравенство принимает вид: $$ (x - 1)^2 + 4(y - 2)^2 \geqslant 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то для любых $x$ и $y$: * $(x - 1)^2 \geqslant 0$; * $(y - 2)^2 \geqslant 0$, следовательно, и $4(y - 2)^2 \geqslant 0$. Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна, значит: $$ (x - 1)^2 + 4(y - 2)^2 \geqslant 0 $$ Неравенство справедливо для любых чисел $x$ и $y$, что и требовалось доказать. --- **2)** Докажем неравенство: $$ 5x^2 - 4xy + y^2 - 16x + 6y + 13 \geqslant 0 $$ Рассмотрим слагаемые, содержащие переменную $y$: $y^2 - 4xy + 6y = y^2 - 2y(2x - 3)$. Дополним это выражение до полного квадрата вида $(y - (2x - 3))^2$: $$ (y - (2x - 3))^2 = y^2 - 2y(2x - 3) + (2x - 3)^2 = y^2 - 4xy + 6y + (4x^2 - 12x + 9) $$ Представим $5x^2$ как $4x^2 + x^2$, $-16x$ как $-12x - 4x$, а число $13$ как $9 + 4$: $$ (4x^2 - 4xy + y^2 - 12x + 6y + 9) + (x^2 - 4x + 4) \geqslant 0 $$ Свернем выражения в скобках: * первая скобка представляет собой квадрат трехчлена: $$ 4x^2 - 4xy + y^2 - 12x + 6y + 9 = (2x - y - 3)^2 $$ * вторая скобка представляет собой квадрат двучлена: $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ Получаем: $$ (2x - y - 3)^2 + (x - 2)^2 \geqslant 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то для любых $x$ и $y$: * $(2x - y - 3)^2 \geqslant 0$; * $(x - 2)^2 \geqslant 0$. Сумма двух неотрицательных выражений всегда неотрицательна, значит: $$ (2x - y - 3)^2 + (x - 2)^2 \geqslant 0 $$ Неравенство справедливо для любых чисел $x$ и $y$, что и требовалось доказать.