ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 797

Рассмотрим неравенство: $$ ax^2 + 2(a+2)x + 2a + 4 < 0. $$ Требуется найти все значения параметра $a$, при которых данное неравенство выполняется для любых действительных значений $x$. **1. Случай $a = 0$** Подставим $a = 0$ в исходное неравенство: $$ 0 \cdot x^2 + 2(0 + 2)x + 2 \cdot 0 + 4 < 0, $$ $$ 4x + 4 < 0, $$ $$ x < -1. $$ Полученное неравенство справедливо только при $x < -1$, а не для всех действительных чисел. Значит, значение $a = 0$ не удовлетворяет условию задачи. **2. Случай $a \neq 0$** При $a \neq 0$ левая часть неравенства представляет собой квадратный трёхчлен $f(x) = ax^2 + 2(a+2)x + 2a + 4$. Квадратичное неравенство $f(x) < 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда график соответствующей квадратичной функции (парабола) целиком расположен ниже оси абсцисс. Для этого необходимо и достаточно выполнение двух условий: 1) Ветви параболы направлены вниз: $a < 0$; 2) Уравнение не имеет действительных корней, то есть дискриминант строго отрицателен: $D < 0$ (или $D_1 = \frac{D}{4} < 0$). Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} a < 0, \\ \dfrac{D}{4} < 0. \end{cases} $$ Вычислим четверть дискриминанта: $$ \dfrac{D}{4} = (a + 2)^2 - a(2a + 4). $$ Преобразуем выражение: $$ \dfrac{D}{4} = a^2 + 4a + 4 - 2a^2 - 4a = 4 - a^2. $$ Решим второе неравенство системы: $$ 4 - a^2 < 0, $$ $$ a^2 - 4 > 0, $$ $$ (a - 2)(a + 2) > 0. $$ Решением этого неравенства является объединение интервалов: $$ a \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty). $$ Пересечем полученное решение с условием $a < 0$: $$ \begin{cases} a < 0, \\ a \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty). \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ a < -2 \quad \text{или} \quad a \in (-\infty; -2). $$ Ответ: $a < -2$ (или $a \in (-\infty; -2)$).