ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 634

1) $\sqrt{3x+4}-\sqrt{x+9}=1$ Перенесём слагаемое с корнем в правую часть: $$ \sqrt{3x+4} = 1 + \sqrt{x+9} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 3x + 4 \ge 0 \\ x + 9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\dfrac{4}{3} \\ x \ge -9 \end{cases} \implies x \ge -\dfrac{4}{3} $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат: $$ (\sqrt{3x+4})^2 = (1 + \sqrt{x+9})^2 $$ $$ 3x + 4 = 1 + 2\sqrt{x+9} + x + 9 $$ $$ 3x + 4 = x + 10 + 2\sqrt{x+9} $$ Уединим корень: $$ 2x - 6 = 2\sqrt{x+9} $$ Разделим обе части на $2$: $$ x - 3 = \sqrt{x+9} $$ Так как квадратный корень не может быть отрицательным, должно выполняться условие: $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$. Возведём обе части в квадрат: $$ (x - 3)^2 = x + 9 $$ $$ x^2 - 6x + 9 = x + 9 $$ $$ x^2 - 7x = 0 $$ $$ x(x - 7) = 0 $$ Получаем корни: $x_1 = 0$ — не удовлетворяет условию $x \ge 3$ (посторонний корень). $x_2 = 7$ — удовлетворяет условию $x \ge 3$. Проверка: $\sqrt{3 \cdot 7 + 4} - \sqrt{7 + 9} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$ — верно. Ответ: $7$. --- 2) $\sqrt{21+x}-\sqrt{28-3x}=1$ Перенесём слагаемое с корнем в правую часть: $$ \sqrt{21+x} = 1 + \sqrt{28-3x} $$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 21 + x \ge 0 \\ 28 - 3x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -21 \\ x \le \dfrac{28}{3} \end{cases} $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 21 + x = 1 + 2\sqrt{28-3x} + 28 - 3x $$ $$ 21 + x = 29 - 3x + 2\sqrt{28-3x} $$ Уединим корень: $$ 4x - 8 = 2\sqrt{28-3x} $$ Разделим обе части на $2$: $$ 2x - 4 = \sqrt{28-3x} $$ Условие для правой части: $2x - 4 \ge 0 \implies x \ge 2$. Возведём обе части в квадрат: $$ (2x - 4)^2 = 28 - 3x $$ $$ 4x^2 - 16x + 16 = 28 - 3x $$ $$ 4x^2 - 13x - 12 = 0 $$ $$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 169 + 192 = 361 = 19^2 $$ $$ x_1 = \dfrac{13 + 19}{2 \cdot 4} = \dfrac{32}{8} = 4 $$ $$ x_2 = \dfrac{13 - 19}{2 \cdot 4} = \dfrac{-6}{8} = -0{,}75 $$ Корень $x_2 = -0{,}75$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$ (посторонний корень). Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет всем условиям. Проверка: $\sqrt{21 + 4} - \sqrt{28 - 3 \cdot 4} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$ — верно. Ответ: $4$. --- 3) $\sqrt{5x+3}=\dfrac{3x+1}{\sqrt{5x-3}}$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 5x + 3 \ge 0 \\ 5x - 3 > 0 \end{cases} \implies x > \dfrac{3}{5} $$ Умножим обе части уравнения на $\sqrt{5x-3} > 0$: $$ \sqrt{(5x+3)(5x-3)} = 3x + 1 $$ $$ \sqrt{25x^2 - 9} = 3x + 1 $$ При $x > \dfrac{3}{5}$ выражение $3x + 1 > 0$, поэтому обе части уравнения неотрицательны. Возведём их в квадрат: $$ 25x^2 - 9 = (3x + 1)^2 $$ $$ 25x^2 - 9 = 9x^2 + 6x + 1 $$ $$ 16x^2 - 6x - 10 = 0 $$ Разделим на $2$: $$ 8x^2 - 3x - 5 = 0 $$ Сумма коэффициентов равна нулю ($8 - 3 - 5 = 0$), следовательно: $x_1 = 1$, $x_2 = -\dfrac{5}{8} = -0{,}625$. С учётом ОДЗ ($x > 0{,}6$): $x_2 = -0{,}625$ — посторонний корень. $x_1 = 1$ — корень уравнения. Проверка: $\sqrt{5 \cdot 1 + 3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$; $\dfrac{3 \cdot 1 + 1}{\sqrt{5 \cdot 1 - 3}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$. Равенство верно. Ответ: $1$. --- 4) $\sqrt{2x-3}=\dfrac{9}{\sqrt{5x+12}}$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 5x + 12 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1{,}5 \\ x > -2{,}4 \end{cases} \implies x \ge 1{,}5 $$ Умножим обе части уравнения на $\sqrt{5x+12} > 0$: $$ \sqrt{(2x-3)(5x+12)} = 9 $$ Возведём обе части в квадрат: $$ (2x - 3)(5x + 12) = 81 $$ $$ 10x^2 + 24x - 15x - 36 = 81 $$ $$ 10x^2 + 9x - 117 = 0 $$ $$ D = 9^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-117) = 81 + 4680 = 4761 = 69^2 $$ $$ x_1 = \dfrac{-9 + 69}{2 \cdot 10} = \dfrac{60}{20} = 3 $$ $$ x_2 = \dfrac{-9 - 69}{2 \cdot 10} = \dfrac{-78}{20} = -3{,}9 $$ Корень $x_2 = -3{,}9$ не входит в ОДЗ ($x \ge 1{,}5$). Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 3 - 3} = \sqrt{3}$; $\dfrac{9}{\sqrt{5 \cdot 3 + 12}} = \dfrac{9}{\sqrt{27}} = \dfrac{9}{3\sqrt{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Равенство верно. Ответ: $3$. --- 5) $\sqrt{9-5x}+\dfrac{4}{\sqrt{3+x}}=2\sqrt{3+x}$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 9 - 5x \ge 0 \\ 3 + x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1{,}8 \\ x > -3 \end{cases} \implies -3 < x \le 1{,}8 $$ Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3+x} > 0$: $$ \sqrt{(9-5x)(3+x)} + 4 = 2(3+x) $$ $$ \sqrt{(9-5x)(3+x)} = 6 + 2x - 4 $$ $$ \sqrt{(9-5x)(3+x)} = 2x + 2 $$ Условие неотрицательности правой части: $2x + 2 \ge 0 \implies x \ge -1$. С учётом ОДЗ: $-1 \le x \le 1{,}8$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (9 - 5x)(3 + x) = (2x + 2)^2 $$ $$ 27 + 9x - 15x - 5x^2 = 4x^2 + 8x + 4 $$ $$ 27 - 6x - 5x^2 = 4x^2 + 8x + 4 $$ $$ 9x^2 + 14x - 23 = 0 $$ Так как сумма коэффициентов равна нулю ($9 + 14 - 23 = 0$): $x_1 = 1$, $x_2 = -\dfrac{23}{9} = -2\dfrac{5}{9}$. Значение $x_2 = -2\dfrac{5}{9}$ не удовлетворяет условию $x \ge -1$ (посторонний корень). Значение $x_1 = 1$ принадлежит отрезку $[-1; 1{,}8]$. Проверка: $\sqrt{9 - 5 \cdot 1} + \dfrac{4}{\sqrt{3 + 1}} = \sqrt{4} + \dfrac{4}{\sqrt{4}} = 2 + \dfrac{4}{2} = 4$; $2\sqrt{3 + 1} = 2 \cdot 2 = 4$. Равенство верно. Ответ: $1$. --- 6) $\dfrac{2}{\sqrt{3x+1}}+\sqrt{3x+1}=\sqrt{5x+9}$ ОДЗ: $$ \begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ 5x + 9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\dfrac{1}{3} \\ x \ge -1{,}8 \end{cases} \implies x > -\dfrac{1}{3} $$ Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3x+1} > 0$: $$ 2 + (3x + 1) = \sqrt{(5x+9)(3x+1)} $$ $$ 3x + 3 = \sqrt{(5x+9)(3x+1)} $$ Так как $x > -\dfrac{1}{3}$, левая часть $3x + 3 > 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ (3x + 3)^2 = (5x + 9)(3x + 1) $$ $$ 9x^2 + 18x + 9 = 15x^2 + 5x + 27x + 9 $$ $$ 9x^2 + 18x + 9 = 15x^2 + 32x + 9 $$ Приведём подобные члены: $$ 6x^2 + 14x = 0 $$ $$ 2x(3x + 7) = 0 $$ Получаем: $x_1 = 0$, $3x + 7 = 0 \implies x_2 = -\dfrac{7}{3} = -2\dfrac{1}{3}$. Корень $x_2 = -2\dfrac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ ($x > -\dfrac{1}{3}$). Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\dfrac{2}{\sqrt{3 \cdot 0 + 1}} + \sqrt{3 \cdot 0 + 1} = \dfrac{2}{1} + 1 = 3$; $\sqrt{5 \cdot 0 + 9} = \sqrt{9} = 3$. Равенство верно. Ответ: $0$.