ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 628

### 1) $$ \begin{cases} x - y = 7, \\ xy = 18 \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения системы: $$ x = y + 7 $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ (y + 7)y = 18 $$ $$ y^2 + 7y - 18 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $$ $$ y_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ y_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9 $$ Найдем соответствующие значения $x$: - при $y_1 = 2$: $x_1 = 2 + 7 = 9$; - при $y_2 = -9$: $x_2 = -9 + 7 = -2$. Ответ: $(9; 2)$, $(-2; -9)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} x - y = 2, \\ xy = 15 \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения системы: $$ x = y + 2 $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ (y + 2)y = 15 $$ $$ y^2 + 2y - 15 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $$ $$ y_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 $$ $$ y_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5 $$ Найдем соответствующие значения $x$: - при $y_1 = 3$: $x_1 = 3 + 2 = 5$; - при $y_2 = -5$: $x_2 = -5 + 2 = -3$. Ответ: $(5; 3)$, $(-3; -5)$. --- ### 3) $$ \begin{cases} x + y = 2, \\ xy = -15 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения системы: $$ y = 2 - x $$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$ x(2 - x) = -15 $$ $$ 2x - x^2 = -15 $$ $$ x^2 - 2x - 15 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 $$ Найдем соответствующие значения $y$: - при $x_1 = 5$: $y_1 = 2 - 5 = -3$; - при $x_2 = -3$: $y_2 = 2 - (-3) = 5$. Ответ: $(5; -3)$, $(-3; 5)$. --- ### 4) $$ \begin{cases} x + y = -5, \\ xy = -36 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения системы: $$ y = -5 - x $$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$ x(-5 - x) = -36 $$ $$ -5x - x^2 = -36 $$ $$ x^2 + 5x - 36 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9 $$ Найдем соответствующие значения $y$: - при $x_1 = 4$: $y_1 = -5 - 4 = -9$; - при $x_2 = -9$: $y_2 = -5 - (-9) = 4$. Ответ: $(4; -9)$, $(-9; 4)$. --- ### 5) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6 \end{cases} $$ Так как из второго уравнения $xy = 6$, переменные не равны нулю ($x \neq 0$). Выразим $y$ через $x$: $$ y = \frac{6}{x} $$ Подставим во второе уравнение: $$ x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 13 $$ $$ x^2 + \frac{36}{x^2} = 13 $$ Умножим обе части уравнения на $x^2 \neq 0$: $$ x^4 - 13x^2 + 36 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 13t + 36 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = 9$. Вернемся к переменной $x$: 1. $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$: - если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{6}{2} = 3$; - если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{6}{-2} = -3$. 2. $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$: - если $x_3 = 3$, то $y_3 = \frac{6}{3} = 2$; - если $x_4 = -3$, то $y_4 = \frac{6}{-3} = -2$. Ответ: $(2; 3)$, $(-2; -3)$, $(3; 2)$, $(-3; -2)$. --- ### 6) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41, \\ xy = 20 \end{cases} $$ Так как $xy = 20$, то $x \neq 0$. Выразим $y$ через $x$: $$ y = \frac{20}{x} $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 + \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 41 $$ $$ x^2 + \frac{400}{x^2} = 41 $$ Умножим обе части уравнения на $x^2 \neq 0$: $$ x^4 - 41x^2 + 400 = 0 $$ Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$: $$ t^2 - 41t + 400 = 0 $$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81 = 9^2 $$ $$ t_1 = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25 $$ $$ t_2 = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16 $$ Вернемся к переменной $x$: 1. $x^2 = 25 \implies x = \pm 5$: - если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{20}{5} = 4$; - если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$. 2. $x^2 = 16 \implies x = \pm 4$: - если $x_3 = 4$, то $y_3 = \frac{20}{4} = 5$; - если $x_4 = -4$, то $y_4 = \frac{20}{-4} = -5$. Ответ: $(5; 4)$, $(-5; -4)$, $(4; 5)$, $(-4; -5)$.