ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 614

**1)** $$\frac{4}{3(x+2)} = \frac{9}{8x+11}$$ Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$; $8x + 11 \neq 0 \implies 8x \neq -11 \implies x \neq -\frac{11}{8} = -1{,}375$. Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних: $$4(8x + 11) = 9 \cdot 3(x + 2)$$ Раскроем скобки: $$32x + 44 = 27(x + 2)$$ $$32x + 44 = 27x + 54$$ Сгруппируем слагаемые с переменной в левой части уравнения, а числовые слагаемые — в правой: $$32x - 27x = 54 - 44$$ $$5x = 10$$ $$x = 2$$ Корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \neq -2$ и $2 \neq -1{,}375$). Ответ: $x = 2$. --- **2)** $$\frac{1}{3(x-1)} = \frac{3}{2(x+6)}$$ ОДЗ: $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$; $x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$. По основному свойству пропорции: $$1 \cdot 2(x + 6) = 3 \cdot 3(x - 1)$$ $$2(x + 6) = 9(x - 1)$$ Раскроем скобки: $$2x + 12 = 9x - 9$$ Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, числа — в другую: $$2x - 9x = -9 - 12$$ $$-7x = -21$$ $$x = \frac{-21}{-7}$$ $$x = 3$$ Корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 1$ и $3 \neq -6$). Ответ: $x = 3$. --- **3)** $$\frac{x}{5-x} + \frac{5-x}{5+x} = -2$$ ОДЗ: $5 - x \neq 0 \implies x \neq 5$; $5 + x \neq 0 \implies x \neq -5$. То есть $x \neq \pm 5$. Общий знаменатель дробей равен $(5 - x)(5 + x) = 25 - x^2$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель: $$x(5 + x) + (5 - x)^2 = -2(5 - x)(5 + x)$$ Раскроем скобки и применим формулу сокращенного умножения: $$5x + x^2 + 25 - 10x + x^2 = -2(25 - x^2)$$ Приведем подобные слагаемые в левой части: $$2x^2 - 5x + 25 = -50 + 2x^2$$ Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения: $$-5x + 25 = -50$$ $$-5x = -50 - 25$$ $$-5x = -75$$ $$x = \frac{-75}{-5}$$ $$x = 15$$ Корень удовлетворяет ОДЗ ($15 \neq \pm 5$). Ответ: $x = 15$. --- **4)** $$\frac{x+3}{x-3} + \frac{x}{x+3} = 2$$ ОДЗ: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$; $x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$. То есть $x \neq \pm 3$. Общий знаменатель дробей равен $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель: $$(x + 3)(x + 3) + x(x - 3) = 2(x - 3)(x + 3)$$ Раскроем скобки: $$(x + 3)^2 + x(x - 3) = 2(x^2 - 9)$$ $$x^2 + 6x + 9 + x^2 - 3x = 2x^2 - 18$$ Приведем подобные слагаемые: $$2x^2 + 3x + 9 = 2x^2 - 18$$ Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения: $$3x + 9 = -18$$ $$3x = -18 - 9$$ $$3x = -27$$ $$x = \frac{-27}{3}$$ $$x = -9$$ Корень удовлетворяет ОДЗ ($-9 \neq \pm 3$). Ответ: $x = -9$.