ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 322

**1. Доказательство равенства $b_n^2 = b_{n+k}b_{n-k}$** Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии: $$ b_m = b_1 q^{m-1} $$ Запишем формулы для членов $b_{n+k}$ и $b_{n-k}$: $$ b_{n+k} = b_1 q^{n+k-1} $$ $$ b_{n-k} = b_1 q^{n-k-1} $$ Найдем их произведение: $$ b_{n+k} b_{n-k} = \left(b_1 q^{n+k-1}\right) \cdot \left(b_1 q^{n-k-1}\right) = b_1^2 \cdot q^{(n+k-1) + (n-k-1)} $$ Упростим показатель степени при знаменателе $q$: $$ (n+k-1) + (n-k-1) = n + k - 1 + n - k - 1 = 2n - 2 = 2(n-1) $$ Тогда произведение принимает вид: $$ b_{n+k} b_{n-k} = b_1^2 \cdot q^{2(n-1)} = \left(b_1 q^{n-1}\right)^2 $$ Так как $b_n = b_1 q^{n-1}$, то: $$ b_{n+k} b_{n-k} = b_n^2 $$ Равенство доказано. --- **2. Вычисление $b_7$** По условию задано произведение $b_3 b_{11} = 225$. Применим доказанное свойство для $n = 7$ и $k = 4$ (условие $n > k$ выполняется, так как $7 > 4$): $$ b_{7-4} = b_3 $$ $$ b_{7+4} = b_{11} $$ Тогда: $$ b_7^2 = b_{11} b_3 $$ Подставим известное значение произведения: $$ b_7^2 = 225 $$ $$ b_7 = \pm\sqrt{225} $$ $$ b_7 = \pm 15 $$ **Ответ:** $15$ или $-15$.