ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 179

### 1) $y = \sqrt{x - 5}$ **Свойства функции:** 1. **Область определения:** выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $$ x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5 $$ $D(y) = [5; +\infty)$. 2. **Множество значений:** арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, поэтому: $$ E(y) = [0; +\infty) $$ 3. **Чётность:** функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения несимметрична относительно нуля. 4. **Нули функции:** $y = 0$ при $\sqrt{x - 5} = 0 \implies x = 5$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(5; 0)$. С осью $Oy$ график не пересекается, так как $x = 0$ не входит в область определения. 5. **Промежутки знакопостоянства:** $y > 0$ при $x \in (5; +\infty)$. 6. **Промежутки монотонности:** функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $[5; +\infty)$. **Построение графика:** График функции получается сдвигом графика функции $y = \sqrt{x}$ вдоль оси $Ox$ на $5$ единиц вправо. Таблица контрольных точек: | $x$ | $5$ | $6$ | $9$ | $14$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | --- ### 2) $y = \sqrt{x + 3}$ **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $$ x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3 $$ $D(y) = [-3; +\infty)$. 2. **Множество значений:** $$ E(y) = [0; +\infty) $$ 3. **Чётность:** функция не является ни чётной, ни нечётной. 4. **Нули функции и пересечение с осями:** - с осью $Ox$: $y = 0 \implies \sqrt{x + 3} = 0 \implies x = -3$, точка $(-3; 0)$; - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = \sqrt{0 + 3} = \sqrt{3} \approx 1{,}7$, точка $(0; \sqrt{3})$. 5. **Промежутки знакопостоянства:** $y > 0$ при $x \in (-3; +\infty)$. 6. **Промежутки монотонности:** функция возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. **Построение графика:** График функции получается сдвигом графика функции $y = \sqrt{x}$ вдоль оси $Ox$ на $3$ единицы влево. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $1$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | --- ### 3) $y = x^4 + 2$ **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число). 2. **Множество значений:** так как $x^4 \ge 0$ при любых $x$, то $x^4 + 2 \ge 2$, следовательно: $$ E(y) = [2; +\infty) $$ 3. **Чётность:** проверим равенство $y(-x) = y(x)$: $$ y(-x) = (-x)^4 + 2 = x^4 + 2 = y(x) $$ Функция является чётной, её график симметричен относительно оси $Oy$. 4. **Нули функции и пересечение с осями:** - $x^4 + 2 = 0$ не имеет действительных корней, поэтому нулей нет (график не пересекает ось $Ox$); - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = 0^4 + 2 = 2$, точка $(0; 2)$ (вершина). 5. **Промежутки знакопостоянства:** $y > 0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$. 6. **Промежутки монотонности:** функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. **Построение графика:** График получается сдвигом параболы четвёртой степени $y = x^4$ вдоль оси $Oy$ на $2$ единицы вверх. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $18$ | $3$ | $2$ | $3$ | $18$ | --- ### 4) $y = 1 - x^4$ **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Множество значений:** так как $-x^4 \le 0$ при любых $x$, то $1 - x^4 \le 1$, следовательно: $$ E(y) = (-\infty; 1] $$ 3. **Чётность:** $$ y(-x) = 1 - (-x)^4 = 1 - x^4 = y(x) $$ Функция является чётной, её график симметричен относительно оси $Oy$. 4. **Нули функции и пересечение с осями:** - с осью $Ox$: $1 - x^4 = 0 \implies x^4 = 1 \implies x = \pm 1$, точки $(-1; 0)$ и $(1; 0)$; - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = 1 - 0^4 = 1$, точка $(0; 1)$ (вершина). 5. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (-1; 1)$; - $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. 6. **Промежутки монотонности:** функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$. **Построение графика:** График получается симметричным отражением графика $y = x^4$ относительно оси $Ox$ (получаем ветви, направленные вниз) и последующим сдвигом вдоль оси $Oy$ на $1$ единицу вверх. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-15$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-15$ | --- ### 5) $y = (x + 1)^3$ **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Множество значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = (-x + 1)^3 = -(x - 1)^3 \ne y(x) \quad \text{и} \quad y(-x) \ne -y(x) $$ Функция не является ни чётной, ни нечётной. 4. **Нули функции и пересечение с осями:** - с осью $Ox$: $(x + 1)^3 = 0 \implies x = -1$, точка $(-1; 0)$; - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = (0 + 1)^3 = 1$, точка $(0; 1)$. 5. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (-1; +\infty)$; - $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1)$. 6. **Промежутки монотонности:** функция возрастает на всей области определения, то есть на $(-\infty; +\infty)$. **Построение графика:** График представляет собой кубическую параболу $y = x^3$, смещённую вдоль оси $Ox$ на $1$ единицу влево. Точка перегиба смещается в $(-1; 0)$. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ | --- ### 6) $y = x^3 - 2$ **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Множество значений:** $E(y) = (-\infty; +\infty)$. 3. **Чётность:** $$ y(-x) = (-x)^3 - 2 = -x^3 - 2 \ne y(x) \quad \text{и} \quad y(-x) \ne -y(x) $$ Функция не является ни чётной, ни нечётной. 4. **Нули функции и пересечение с осями:** - с осью $Ox$: $x^3 - 2 = 0 \implies x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$, точка $(\sqrt[3]{2}; 0)$; - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = 0^3 - 2 = -2$, точка $(0; -2)$. 5. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $x \in (\sqrt[3]{2}; +\infty)$; - $y < 0$ при $x \in (-\infty; \sqrt[3]{2})$. 6. **Промежутки монотонности:** функция возрастает на всей области определения, то есть на $(-\infty; +\infty)$. **Построение графика:** График представляет собой кубическую параболу $y = x^3$, смещённую вдоль оси $Oy$ на $2$ единицы вниз. Точка перегиба смещается в $(0; -2)$. Таблица контрольных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-10$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $6$ |