ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 152

**1)** $\sqrt[4]{x^2 - 4}$ Корень четной (четвертой) степени имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно: $$ x^2 - 4 \ge 0 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - 2)(x + 2) \ge 0 $$ Нули функции: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому выражение неотрицательно вне отрезка между корнями. **Ответ:** $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$ (или $x \le -2$, $x \ge 2$). --- **2)** $\sqrt[3]{x^2 - 5x + 6}$ Корень нечетной (третьей) степени определен при любых действительных значениях подкоренного выражения. Никаких других ограничений (деления на ноль и т. д.) выражение не содержит. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$ (или $x$ — любое действительное число). --- **3)** $\sqrt[6]{\frac{x-2}{x+3}}$ Корень четной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю: $$ \begin{cases} \dfrac{x - 2}{x + 3} \ge 0, \\ x + 3 \ne 0 \end{cases} $$ Найдем нули числителя и знаменателя: - числитель равен нулю при $x = 2$; - знаменатель равен нулю при $x = -3$. Решим неравенство методом интервалов. Нанесем точки на числовую прямую: точка $x = 2$ закрашенная, точка $x = -3$ выколотая. - при $x > 2$ дробь положительна ($+$); - при $-3 < x < 2$ дробь отрицательна ($-$), например, при $x = 0$: $\frac{-2}{3} < 0$; - при $x < -3$ дробь положительна ($+$), например, при $x = -4$: $\frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Значит, дробь неотрицательна при $x < -3$ и при $x \ge 2$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -3) \cup [2; +\infty)$ (или $x < -3$, $x \ge 2$). --- **4)** $\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}$ Корень четной (четвертой) степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $$ x^2 - 5x + 6 \ge 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$: По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5, \\ x_1 \cdot x_2 = 6 \end{cases} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 3 $$ Разложим на множители: $$ (x - 2)(x - 3) \ge 0 $$ Так как ветви параболы направлены вверх, трехчлен неотрицателен при значениях $x$, лежащих вне интервала между корнями. **Ответ:** $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$ (или $x \le 2$, $x \ge 3$). --- **5)** $\sqrt[8]{x^3 - x}$ Корень восьмой (четной) степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $$ x^3 - x \ge 0 $$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки и применим формулу разности квадратов: $$ x(x^2 - 1) \ge 0 $$ $$ x(x - 1)(x + 1) \ge 0 $$ Нули функции: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$. Применим метод интервалов, определив знаки произведения на полученных промежутках: - при $x > 1$: $(+) \cdot (+) \cdot (+) > 0$; - при $0 < x < 1$: $(+) \cdot (-) \cdot (+) < 0$; - при $-1 < x < 0$: $(-) \cdot (-) \cdot (+) > 0$; - при $x < -1$: $(-) \cdot (-) \cdot (-) < 0$. Неравенство нестрогое, поэтому граничные точки включаются. **Ответ:** $x \in [-1; 0] \cup [1; +\infty)$ (или $-1 \le x \le 0$, $x \ge 1$). --- **6)** $6\sqrt[6]{x^3 - 5x^2 + 6x}$ Умножение на число $6$ не накладывает ограничений. Корень шестой (четной) степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $$ x^3 - 5x^2 + 6x \ge 0 $$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^2 - 5x + 6) \ge 0 $$ Разложим квадратный трехчлен на множители (его корни были найдены в пункте 4: $x = 2$ и $x = 3$): $$ x(x - 2)(x - 3) \ge 0 $$ Нули функции: $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$. Применим метод интервалов: - при $x > 3$: $(+) \cdot (+) \cdot (+) > 0$; - при $2 < x < 3$: $(+) \cdot (+) \cdot (-) < 0$; - при $0 < x < 2$: $(+) \cdot (-) \cdot (-) > 0$; - при $x < 0$: $(-) \cdot (-) \cdot (-) < 0$. Выбираем промежутки со знаком «$+$», включая граничные точки. **Ответ:** $x \in [0; 2] \cup [3; +\infty)$ (или $0 \le x \le 2$, $x \ge 3$).