ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 867

По условию $x$ и $y$ — целые числа, и число $3x + 8y$ делится на 17, то есть: $$ 3x + 8y = 17k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} $$ Преобразуем выражение $35x + 65y$, выделив в нём слагаемое, содержащее выражение $3x + 8y$. Для этого рассмотрим разность: $$ (35x + 65y) - 6(3x + 8y) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 35x + 65y - 18x - 48y = 17x + 17y = 17(x + y) $$ Отсюда выразим $35x + 65y$: $$ 35x + 65y = 6(3x + 8y) + 17(x + y) $$ Проанализируем полученную сумму: 1. Первое слагаемое $6(3x + 8y)$ делится на 17, так как по условию число $3x + 8y$ делится на 17. 2. Второе слагаемое $17(x + y)$ делится на 17, так как содержит множитель 17, а $x + y$ является целым числом (сумма целых чисел $x$ и $y$). Так как каждое из слагаемых делится на 17, то и вся их сумма делится на 17. Следовательно, число $35x + 65y$ делится на 17, что и требовалось доказать.