ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 866

Пусть исходное трёхзначное число равно $\overline{abc} = 100a + 10b + c$, где $a$, $b$, $c$ — цифры, причём $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$, $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, равно $\overline{cba} = 100c + 10b + a$. Составим разность этих чисел: $$ \overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c) $$ Предположим противное: пусть данная разность равна квадрату некоторого натурального числа $k$: $$ 99(a - c) = k^2, \quad \text{где } k \in \mathbb{N} $$ Так как $k$ — натуральное число, то $k^2 > 0$, откуда $a - c > 0$, то есть $a > c$. Разложим число 99 на простые множители: $99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$. Тогда равенство принимает вид: $$ 3^2 \cdot 11 \cdot (a - c) = k^2 $$ Поскольку $3^2$ является точным квадратом, для того чтобы всё произведение было квадратом натурального числа, произведение $11 \cdot (a - c)$ также должно являться точным квадратом: $$ 11 \cdot (a - c) = m^2, \quad \text{где } m \in \mathbb{N} $$ В каноническом разложении точного квадрата на простые множители все простые числа входят в чётных степенях. Так как число 11 — простое, множитель $(a - c)$ обязан делиться на 11. Однако $a$ и $c$ — цифры, где $a \le 9$ и $c \ge 0$, причём $a > c$. Значит: $$ 1 \le a - c \le 9 $$ Среди натуральных чисел от 1 до 9 нет ни одного числа, которое делилось бы на 11. Следовательно, разность $(a - c)$ не делится на 11, а значит, число $99(a - c)$ не может являться квадратом натурального числа. Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.