ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 822

Дано квадратное уравнение: $$ x^2 + (r-1)x - 2(r-1) = 0 $$ Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = r - 1$, $c = -2(r - 1)$. Уравнение имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$, если его дискриминант неотрицателен ($D \ge 0$). Так как по условию $|x_1 - x_2| = 3 \ne 0$, корни различны, следовательно, $D > 0$. Запишем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (r - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2(r - 1)) = (r - 1)^2 + 8(r - 1) $$ По теореме Виета: $$ x_1 + x_2 = -(r - 1) $$ $$ x_1 \cdot x_2 = -2(r - 1) $$ По условию задачи: $$ |x_1 - x_2| = 3 $$ Возведём обе части равенства в квадрат: $$ (x_1 - x_2)^2 = 9 $$ Преобразуем выражение $(x_1 - x_2)^2$, выразив его через сумму и произведение корней: $$ (x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 $$ Подставим выражения из теоремы Виета: $$ (-(r - 1))^2 - 4 \cdot (-2(r - 1)) = 9 $$ $$ (r - 1)^2 + 8(r - 1) = 9 $$ Перенесём $9$ в левую часть уравнения: $$ (r - 1)^2 + 8(r - 1) - 9 = 0 $$ Пусть $t = r - 1$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 + 8t - 9 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = -8 \\ t_1 \cdot t_2 = -9 \end{cases} \implies t_1 = 1, \quad t_2 = -9 $$ Вернемся к переменной $r$: 1) $r - 1 = 1$ $$ r_1 = 2 $$ 2) $r - 1 = -9$ $$ r_2 = -8 $$ Так как для обоих найденных значений $D = (r - 1)^2 + 8(r - 1) = 9 > 0$, уравнение действительно имеет два различных вещественных корня при $r = 2$ и при $r = -8$. Ответ: $r_1 = 2$, $r_2 = -8$.