ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 815

1) Применим неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трёх положительных чисел $\frac{a}{b}$, $\frac{b}{c}$ и $\frac{c}{a}$: $$ \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \geqslant \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} $$ Так как $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = 1$, получаем: $$ \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \geqslant \sqrt[3]{1} = 1 $$ Умножим обе части неравенства на $3$: $$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geqslant 3 $$ Неравенство доказано. --- 2) Сгруппируем слагаемые парами и воспользуемся тем, что для любых положительных чисел $x$ и $y$ выполняется неравенство $x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$: $$ \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{bc}{a} \cdot \frac{ac}{b}} = 2\sqrt{c^2} = 2c $$ $$ \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \geqslant 2\sqrt{\frac{ac}{b} \cdot \frac{ab}{c}} = 2\sqrt{a^2} = 2a $$ $$ \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} \geqslant 2\sqrt{\frac{ab}{c} \cdot \frac{bc}{a}} = 2\sqrt{b^2} = 2b $$ Сложим почленно эти три неравенства: $$ \left(\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b}\right) + \left(\frac{ac}{b} + \frac{ab}{c}\right) + \left(\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}\right) \geqslant 2c + 2a + 2b $$ $$ 2\left(\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c}\right) \geqslant 2(a + b + c) $$ Разделим обе части на $2$: $$ \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \geqslant a + b + c $$ Неравенство доказано. --- 3) Так как $a, b, c > 0$, то знаменатели дробей положительны. Исходное неравенство равносильно неравенству: $$ 3(a^3 + b^3 + c^3) \geqslant (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) $$ Рассмотрим разность левой и правой частей: $$ 3(a^3 + b^3 + c^3) - (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) $$ Раскроем скобки в вычитаемом: $$ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) = a^3 + ab^2 + ac^2 + a^2b + b^3 + bc^2 + a^2c + b^2c + c^3 $$ Подставим это выражение в разность: $$ 3a^3 + 3b^3 + 3c^3 - (a^3 + b^3 + c^3 + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2) = $$ $$ = 2a^3 + 2b^3 + 2c^3 - (a^2b + ab^2) - (b^2c + bc^2) - (a^2c + ac^2) $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (a^3 + b^3 - a^2b - ab^2) + (b^3 + c^3 - b^2c - bc^2) + (a^3 + c^3 - a^2c - ac^2) $$ Разложим каждую группу на множители: $$ a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a^2 - b^2)(a - b) = (a + b)(a - b)^2 $$ Аналогично для остальных групп: $$ b^3 + c^3 - b^2c - bc^2 = (b + c)(b - c)^2 $$ $$ a^3 + c^3 - a^2c - ac^2 = (a + c)(a - c)^2 $$ Тогда разность принимает вид: $$ (a + b)(a - b)^2 + (b + c)(b - c)^2 + (a + c)(a - c)^2 $$ Так как $a, b, c > 0$, суммы $(a + b)$, $(b + c)$, $(a + c)$ строго положительны, а квадраты $(a - b)^2 \geqslant 0$, $(b - c)^2 \geqslant 0$, $(a - c)^2 \geqslant 0$. Следовательно, вся разность неотрицательна: $$ 3(a^3 + b^3 + c^3) - (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) \geqslant 0 $$ $$ 3(a^3 + b^3 + c^3) \geqslant (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) $$ Разделив обе части на положительное число $3(a^2 + b^2 + c^2)$, получаем: $$ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 + b^2 + c^2} \geqslant \frac{a + b + c}{3} $$ Неравенство доказано. --- 4) Прибавим к каждой дроби в левой части по единице (всего прибавим $3$): $$ \left(\frac{a}{b+c} + 1\right) + \left(\frac{b}{c+a} + 1\right) + \left(\frac{c}{a+b} + 1\right) = \frac{a+b+c}{b+c} + \frac{a+b+c}{c+a} + \frac{a+b+c}{a+b} $$ Вынесем общий множитель $(a + b + c)$: $$ (a + b + c)\left(\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b}\right) $$ Введем замену переменных: пусть $x = b + c$, $y = c + a$, $z = a + b$. Сложим эти равенства: $$ x + y + z = 2(a + b + c) \implies a + b + c = \frac{x + y + z}{2} $$ Подставим $x$, $y$ и $z$ в выражение: $$ \frac{1}{2}(x + y + z)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) $$ Раскроем скобки: $$ \frac{1}{2}\left(1 + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + 1 + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 1\right) = \frac{1}{2}\left(3 + \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) + \left(\frac{y}{z} + \frac{z}{y}\right) + \left(\frac{x}{z} + \frac{z}{x}\right)\right) $$ Так как сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше $2$ (то есть $\frac{u}{v} + \frac{v}{u} \geqslant 2$), оценим каждую пару: $$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geqslant 2, \quad \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \geqslant 2, \quad \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \geqslant 2 $$ Тогда выражение в скобках: $$ 3 + \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) + \left(\frac{y}{z} + \frac{z}{y}\right) + \left(\frac{x}{z} + \frac{z}{x}\right) \geqslant 3 + 2 + 2 + 2 = 9 $$ Следовательно: $$ \frac{1}{2}(x + y + z)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) \geqslant \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2} $$ Возвращаясь к исходным переменным: $$ \left(\frac{a}{b+c} + 1\right) + \left(\frac{b}{c+a} + 1\right) + \left(\frac{c}{a+b} + 1\right) \geqslant \frac{9}{2} $$ Вычтем $3$ из обеих частей неравенства: $$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geqslant \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} $$ Неравенство доказано.