ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 81

**1)** Доказать, что если $a - b \geqslant 4a + 5b$, то $a \leqslant -2b$. Перенесём слагаемые с переменной $a$ в левую часть неравенства, а слагаемые с переменной $b$ — в правую часть, меняя знаки переносимых слагаемых на противоположные: $$ a - 4a \geqslant 5b + b $$ Приведём подобные члены в обеих частях неравенства: $$ -3a \geqslant 6b $$ Разделим обе части неравенства на отрицательное число $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$ a \leqslant \frac{6b}{-3} $$ $$ a \leqslant -2b $$ Требуемое утверждение доказано. --- **2)** Доказать, что если $a - 2b \leqslant 5a + 4b$, то $2a \geqslant -3b$. *(Примечание: в условии опечатка в левой части — вместо ошибочной записи $\dfrac{a-2b}{a-2b}$ в учебнике приведено выражение $a - 2b$)*. Перенесём слагаемые с $a$ в левую часть неравенства, а слагаемые с $b$ — в правую часть: $$ a - 5a \leqslant 4b + 2b $$ Приведём подобные слагаемые: $$ -4a \leqslant 6b $$ Разделим обе части неравенства на число $-2$. Так как число отрицательное, изменим знак неравенства с $\leqslant$ на $\geqslant$: $$ \frac{-4a}{-2} \geqslant \frac{6b}{-2} $$ $$ 2a \geqslant -3b $$ Требуемое утверждение доказано. --- **3)** Доказать, что если $(x+2)(x-3) \leqslant (x+3)(x-2)$, то $x \geqslant 0$. Раскроем скобки в левой и правой частях неравенства: $$ x^2 - 3x + 2x - 6 \leqslant x^2 - 2x + 3x - 6 $$ $$ x^2 - x - 6 \leqslant x^2 + x - 6 $$ Перенесём все слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки: $$ x^2 - x - 6 - x^2 - x + 6 \leqslant 0 $$ Приведём подобные члены ($x^2 - x^2 = 0$, $-6 + 6 = 0$): $$ -2x \leqslant 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-2$, поменяв знак неравенства на противоположный: $$ x \geqslant 0 $$ Требуемое утверждение доказано. --- **4)** Доказать, что если $(x-5)(x+1) \geqslant (x+5)(x-1)$, то $x \leqslant 0$. Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $$ x^2 + x - 5x - 5 \geqslant x^2 - x + 5x - 5 $$ $$ x^2 - 4x - 5 \geqslant x^2 + 4x - 5 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства: $$ x^2 - 4x - 5 - x^2 - 4x + 5 \geqslant 0 $$ Приведём подобные члены ($x^2 - x^2 = 0$, $-5 + 5 = 0$): $$ -8x \geqslant 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-8$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x \leqslant 0 $$ Требуемое утверждение доказано.