ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 69

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, а точка $M$ — произвольная точка, лежащая внутри этого прямоугольника. Обозначим расстояния от точки $M$ до вершин прямоугольника как $MA$, $MB$, $MC$ и $MD$. Периметр прямоугольника равен: $$ P = AB + BC + CD + AD $$ Полупериметр прямоугольника равен: $$ p = \frac{P}{2} $$ Соединим точку $M$ с вершинами $A$, $B$, $C$ и $D$. Так как точка $M$ лежит внутри прямоугольника, образуются четыре невырожденных треугольника: $\triangle ABM$, $\triangle BCM$, $\triangle CDM$ и $\triangle DAM$. Применим неравенство треугольника (сумма двух любых сторон треугольника больше третьей стороны) к каждому из них: 1) Для $\triangle ABM$: $$ MA + MB > AB $$ 2) Для $\triangle BCM$: $$ MB + MC > BC $$ 3) Для $\triangle CDM$: $$ MC + MD > CD $$ 4) Для $\triangle DAM$: $$ MD + MA > AD $$ Сложим почленно все четыре неравенства: $$ (MA + MB) + (MB + MC) + (MC + MD) + (MD + MA) > AB + BC + CD + AD $$ Приведём подобные слагаемые в левой части неравенства: $$ 2 \cdot (MA + MB + MC + MD) > AB + BC + CD + AD $$ Так как $AB + BC + CD + AD = P$ (периметр прямоугольника), получаем: $$ 2 \cdot (MA + MB + MC + MD) > P $$ Разделим обе части неравенства на $2$: $$ MA + MB + MC + MD > \frac{P}{2} $$ Так как $\frac{P}{2}$ — это полупериметр прямоугольника, то сумма расстояний от точки $M$ до вершин прямоугольника больше его полупериметра. Что и требовалось доказать.