ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 65

По условию дано: $a < 2$ и $b > 3$. 1) Докажем, что $a + 3 < b + 2$. Прибавим к обеим частям неравенства $a < 2$ число $3$: $$ a + 3 < 2 + 3 $$ $$ a + 3 < 5 $$ Прибавим к обеим частям неравенства $b > 3$ число $2$: $$ b + 2 > 3 + 2 $$ $$ b + 2 > 5 \quad \text{или} \quad 5 < b + 2 $$ По свойству транзитивности числовых неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$): $$ a + 3 < 5 < b + 2 $$ Следовательно, $a + 3 < b + 2$. Что и требовалось доказать. --- 2) Докажем, что $a - 1 < b - 2$. Вычтем из обеих частей неравенства $a < 2$ число $1$: $$ a - 1 < 2 - 1 $$ $$ a - 1 < 1 $$ Вычтем из обеих частей неравенства $b > 3$ число $2$: $$ b - 2 > 3 - 2 $$ $$ b - 2 > 1 \quad \text{или} \quad 1 < b - 2 $$ Сравнивая полученные выражения с числом $1$, имеем: $$ a - 1 < 1 < b - 2 $$ Следовательно, $a - 1 < b - 2$. Что и требовалось доказать. --- 3) Докажем, что $b - 3 > a - 2$. Вычтем из обеих частей неравенства $b > 3$ число $3$: $$ b - 3 > 3 - 3 $$ $$ b - 3 > 0 $$ Вычтем из обеих частей неравенства $a < 2$ число $2$: $$ a - 2 < 2 - 2 $$ $$ a - 2 < 0 \quad \text{или} \quad 0 > a - 2 $$ Так как положительное число всегда больше отрицательного: $$ b - 3 > 0 > a - 2 $$ Следовательно, $b - 3 > a - 2$. Что и требовалось доказать. --- 4) Докажем, что $2b > 2a + 2$. Умножим обе части неравенства $b > 3$ на положительное число $2$: $$ 2b > 2 \cdot 3 $$ $$ 2b > 6 $$ Умножим обе части неравенства $a < 2$ на положительное число $2$: $$ 2a < 2 \cdot 2 $$ $$ 2a < 4 $$ Прибавим к обеим частям полученного неравенства число $2$: $$ 2a + 2 < 4 + 2 $$ $$ 2a + 2 < 6 \quad \text{или} \quad 6 > 2a + 2 $$ Объединяя результаты, получаем: $$ 2b > 6 > 2a + 2 $$ Следовательно, $2b > 2a + 2$. Что и требовалось доказать.