ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин проверь себя. глава - 6

### 1. Решить неравенство **а)** $x^2 - 0,04 \leqslant 0$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$(x - 0,2)(x + 0,2) \leqslant 0$$ Корни уравнения $x^2 - 0,04 = 0$: $x_1 = -0,2$, $x_2 = 0,2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение неположительно между корнями: $$x \in [-0,2; 0,2]$$ Ответ: $[-0,2; 0,2]$. --- **б)** $0,01x^2 - 9 > 0$ Разделим обе части неравенства на $0,01$: $$x^2 - 900 > 0$$ $$(x - 30)(x + 30) > 0$$ Корни: $x_1 = -30$, $x_2 = 30$. Ветви параболы направлены вверх, выражение положительно вне отрезка между корнями: $$x \in (-\infty; -30) \cup (30; +\infty)$$ Ответ: $(-\infty; -30) \cup (30; +\infty)$. --- **в)** $x^2 - 3x - 4 < 0$ Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ по теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3, \\ x_1 \cdot x_2 = -4 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 4$$ Разложим на множители: $$(x + 1)(x - 4) < 0$$ Ветви параболы направлены вверх, трехчлен отрицателен между корнями: $$x \in (-1; 4)$$ Ответ: $(-1; 4)$. --- **г)** $3x^2 - 4x + 8 \geqslant 0$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 16 - 96 = -80$$ Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, график функции $y = 3x^2 - 4x + 8$ — парабола с ветвями, направленными вверх, которая целиком лежит выше оси $Ox$. Значит, неравенство выполняется при всех действительных $x$. Ответ: $(-\infty; +\infty)$. --- **д)** $-x^2 + 3x - 5 > 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$x^2 - 3x + 5 < 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$$ Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, выражение $x^2 - 3x + 5$ положительно при любых $x$, следовательно, оно не может быть меньше нуля. Ответ: решений нет. --- **е)** $x^2 + 20x + 100 \leqslant 0$ Свернем левую часть по формуле квадрата суммы: $$(x + 10)^2 \leqslant 0$$ Квадрат действительного числа всегда неотрицателен: $(x + 10)^2 \geqslant 0$. Значит, неравенство может выполняться только в случае равенства нулю: $$x + 10 = 0 \implies x = -10$$ Ответ: $-10$. --- ### 2. Решить методом интервалов неравенство $$x(x - 1)(x + 2) \geqslant 0$$ 1. Нули функции $f(x) = x(x - 1)(x + 2)$: $x = 0$, $x = 1$, $x = -2$. 2. Отметим нули на числовой прямой закрашенными точками (так как неравенство нестрогое) и разобьем прямую на интервалы: $(-\infty; -2]$, $[-2; 0]$, $[0; 1]$, $[1; +\infty)$. 3. Определим знаки выражения на каждом интервале: - при $x > 1$ (например, $x = 2$): $2 \cdot 1 \cdot 4 > 0$ — знак «$+$»; - при $0 < x < 1$ (например, $x = 0,5$): $0,5 \cdot (-0,5) \cdot 2,5 < 0$ — знак «$-$»; - при $-2 < x < 0$ (например, $x = -1$): $(-1) \cdot (-2) \cdot 1 > 0$ — знак «$+$»; - при $x < -2$ (например, $x = -3$): $(-3) \cdot (-4) \cdot (-1) < 0$ — знак «$-$». 4. Выбираем промежутки со знаком «$+$»: $$x \in [-2; 0] \cup [1; +\infty)$$ Ответ: $[-2; 0] \cup [1; +\infty)$. --- ### 3. Решить неравенство **а)** $\frac{8x - 1}{5 - x} \leqslant 0$ Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$\frac{8x - 1}{x - 5} \geqslant 0$$ Нуль числителя: $8x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{8} = 0,125$ (входит в решение). Нуль знаменателя: $x - 5 = 0 \implies x = 5$ (не входит в решение, так как делить на ноль нельзя). Применим метод интервалов: - при $x > 5$: дробь положительна ($+$); - при $0,125 < x < 5$: дробь отрицательна ($-$). - при $x < 0,125$: дробь положительна ($+$); Нам нужны интервалы со знаком «$+$»: $$x \in (-\infty; 0,125] \cup (5; +\infty)$$ Ответ: $(-\infty; 0,125] \cup (5; +\infty)$. --- **б)** $2x(x - 3) + 16 \geqslant 3x(5 - x)$ Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть: $$2x^2 - 6x + 16 \geqslant 15x - 3x^2$$ $$5x^2 - 21x + 16 \geqslant 0$$ Найдем корни уравнения $5x^2 - 21x + 16 = 0$: Сумма коэффициентов $a + b + c = 5 - 21 + 16 = 0$, следовательно: $$x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{c}{a} = \frac{16}{5} = 3,2$$ Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение неотрицательно вне интервала между корнями: $$x \in (-\infty; 1] \cup [3,2; +\infty)$$ Ответ: $(-\infty; 1] \cup [3,2; +\infty)$. --- **в)** $x(2x - 5) + 4 \leqslant x(7 - 3x)$ Раскроем скобки: $$2x^2 - 5x + 4 \leqslant 7x - 3x^2$$ Перенесем все слагаемые влево: $$5x^2 - 12x + 4 \leqslant 0$$ Решим уравнение $5x^2 - 12x + 4 = 0$: $$D_1 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac = (-6)^2 - 5 \cdot 4 = 36 - 20 = 16 = 4^2$$ $$x = \frac{6 \pm 4}{5} \implies x_1 = \frac{2}{5} = 0,4, \quad x_2 = 2$$ Так как ветви параболы направлены вверх, неположительные значения находятся между корнями (включая концы): $$x \in [0,4; 2]$$ Ответ: $[0,4; 2]$. --- **г)** $\frac{x^2}{3} - \frac{3x - 10}{4} < \frac{2x}{3}$ Умножим обе части неравенства на общий знаменатель $12$: $$4x^2 - 3(3x - 10) < 4 \cdot 2x$$ $$4x^2 - 9x + 30 < 8x$$ $$4x^2 - 17x + 30 < 0$$ Найдем дискриминант трехчлена: $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 30 = 289 - 480 = -191$$ Так как $D < 0$ и $a = 4 > 0$, трехчлен принимает только положительные значения при любых действительных значениях $x$. Значит, неравенство решений не имеет. Ответ: решений нет. --- ### 4. Решить методом интервалов неравенство $$\frac{x^2 - 2x - 15}{x^2 + 6x} \leqslant 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители: - Числитель: $x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$ - Знаменатель: $x^2 + 6x = x(x + 6)$ Получаем неравенство: $$\frac{(x - 5)(x + 3)}{x(x + 6)} \leqslant 0$$ Нули числителя (закрашенные точки): $x = -3$, $x = 5$. Нули знаменателя (выколотые точки): $x \neq -6$, $x \neq 0$. Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки дроби на полученных интервалах: - при $x > 5$: $+$ - при $0 < x \leqslant 5$: $-$ - при $-3 \leqslant x < 0$: $+$ - при $-6 < x \leqslant -3$: $-$ - при $x < -6$: $+$ Выбираем интервалы, где дробь неположительна: $$x \in (-6; -3] \cup (0; 5]$$ Ответ: $(-6; -3] \cup (0; 5]$. --- ### 5. Решить неравенство **а)** $2(x - 7)^2 - 18 \leqslant 0$ $$2(x - 7)^2 \leqslant 18$$ $$(x - 7)^2 \leqslant 9$$ $$|x - 7| \leqslant 3$$ Двойное неравенство: $$-3 \leqslant x - 7 \leqslant 3$$ Прибавим $7$ ко всем частям неравенства: $$4 \leqslant x \leqslant 10$$ Ответ: $[4; 10]$. --- **б)** $(x + 5)^2 \geqslant 16$ $$|x + 5| \geqslant 4$$ Неравенство распадается на два случая: $$\left[\begin{array}{l} x + 5 \geqslant 4 \\ x + 5 \leqslant -4 \end{array}\right. \implies \left[\begin{array}{l} x \geqslant -1 \\ x \leqslant -9 \end{array}\right.$$ Ответ: $(-\infty; -9] \cup [-1; +\infty)$. --- ### 6. Решить систему неравенств $$\begin{cases} 2x^2 + x - 15 > 0, \\ 7x + 30 \geqslant 0 \end{cases}$$ 1. Решим первое неравенство $2x^2 + x - 15 > 0$: $$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$$ $$x_1 = \frac{-1 - 11}{4} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 11}{4} = 2,5$$ Ветви направлены вверх, поэтому: $$x \in (-\infty; -3) \cup (2,5; +\infty)$$ 2. Решим второе неравенство $7x + 30 \geqslant 0$: $$7x \geqslant -30 \implies x \geqslant -\frac{30}{7} \implies x \geqslant -4\frac{2}{7}$$ 3. Найдем пересечение решений: $$x \in \left[-4\frac{2}{7}; -3\right) \cup (2,5; +\infty)$$ Ответ: $\left[-4\frac{2}{7}; -3\right) \cup (2,5; +\infty)$. --- ### 7. Нахождение параметра $q$ Квадратный трехчлен $x^2 + 4x + q > 0$ положителен при всех действительных значениях $x$, если ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$) и парабола не пересекает ось $Ox$, то есть дискриминант строго отрицателен: $$D < 0$$ $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 16 - 4q$$ $$16 - 4q < 0 \implies 4q > 16 \implies q > 4$$ Ответ: $q > 4$. --- ### 8. Решить методом интервалов неравенство $$\frac{(x - 5)(x + 3)^3}{x^2 + 2x + 1} \leqslant 0$$ Свернем знаменатель: $$\frac{(x - 5)(x + 3)^3}{(x + 1)^2} \leqslant 0$$ 1. Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, то есть $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$. 2. Нули числителя: - $x = 5$ (корень нечетной кратности $1$ — знак меняется); - $x = -3$ (корень нечетной кратности $3$ — знак меняется). 3. Точка $x = -1$ — корень четной кратности $2$ в знаменателе (выколотая точка, при переходе через нее знак выражения не меняется). 4. Расставим знаки на интервалах: - при $x > 5$: $+$ - при $-1 < x \leqslant 5$: $-$ - при $-3 \leqslant x < -1$: $-$ - при $x < -3$: $+$ Так как неравенство нестрогое ($\leqslant 0$), нули числителя входят в ответ, а точка $x = -1$ исключается: $$x \in [-3; -1) \cup (-1; 5]$$ Ответ: $[-3; -1) \cup (-1; 5]$. --- ### 9. Решить неравенство для каждого значения $a$ $$x^2 - 2ax > 2a - 2a^2 - 1$$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$x^2 - 2ax + 2a^2 - 2a + 1 > 0$$ Представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$ и сгруппируем слагаемые в полные квадраты: $$(x^2 - 2ax + a^2) + (a^2 - 2a + 1) > 0$$ $$(x - a)^2 + (a - 1)^2 > 0$$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому: - $(x - a)^2 \geqslant 0$; - $(a - 1)^2 \geqslant 0$. Сумма квадратов строго больше нуля всегда, кроме случая, когда оба квадрата одновременно равны нулю: $$\begin{cases} x - a = 0, \\ a - 1 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a = 1, \\ x = 1 \end{cases}$$ Рассмотрим возможные случаи для параметра $a$: 1. Если $a \neq 1$, то выражение $(a - 1)^2 > 0$. Тогда сумма неотрицательного числа $(x - a)^2$ и положительного числа $(a - 1)^2$ всегда строго больше нуля при любом $x$. Следовательно, решение: $x \in (-\infty; +\infty)$. 2. Если $a = 1$, неравенство принимает вид: $$(x - 1)^2 + 0 > 0 \iff (x - 1)^2 > 0$$ Квадрат строго больше нуля при всех $x$, кроме $x = 1$. Следовательно, решение: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Ответ: при $a \neq 1$: $x \in (-\infty; +\infty)$; при $a = 1$: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.