ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин проверь себя. глава - 4

### Задание 1 Решить уравнение: а) $3x^2 = 0$ $x^2 = 0$ $x = 0$ Ответ: $0$. б) $(x+1)(x-1) = 0$ $x + 1 = 0$ или $x - 1 = 0$ $x = -1$ или $x = 1$ Ответ: $-1;\; 1$. в) $4x^2 - 1 = 0$ $4x^2 = 1$ $x^2 = \frac{1}{4}$ $x = \pm 0,5$ Ответ: $-0,5;\; 0,5$. г) $3x^2 = 5x$ $3x^2 - 5x = 0$ $x(3x - 5) = 0$ $x = 0$ или $3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ Ответ: $0;\; 1\frac{2}{3}$. д) $4x^2 - 4x + 1 = 0$ По формуле квадрата разности: $(2x - 1)^2 = 0$ $2x - 1 = 0$ $2x = 1$ $x = 0,5$ Ответ: $0,5$. е) $x^2 - 16x - 17 = 0$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 16, \\ x_1 \cdot x_2 = -17. \end{cases} $$ Отсюда $x_1 = 17$, $x_2 = -1$. Ответ: $-1;\; 17$. ж) $0,3x^2 + 5x = 2$ $0,3x^2 + 5x - 2 = 0$ Умножим обе части уравнения на $10$: $3x^2 + 50x - 20 = 0$ $D = 50^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 2500 + 240 = 2740$ $x = \frac{-50 \pm \sqrt{2740}}{2 \cdot 3} = \frac{-50 \pm \sqrt{4 \cdot 685}}{6} = \frac{-50 \pm 2\sqrt{685}}{6} = \frac{-25 \pm \sqrt{685}}{3}$ Ответ: $\frac{-25 \pm \sqrt{685}}{3}$. з) $x^2 - 4x + 5 = 0$ $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$ Так как $D < 0$, действительных корней нет. Ответ: корней нет. --- ### Задание 2 Разложить на множители: а) $x^2 + x - 6$ Найдем корни трехчлена через уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$, откуда $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Разложение на множители имеет вид: $$ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) $$ Ответ: $(x + 3)(x - 2)$. б) $2x^2 - x - 3$ Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 3 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$ $x_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5$ $x_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ Разложим на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$: $$ 2x^2 - x - 3 = 2(x - 1,5)(x + 1) = (2x - 3)(x + 1) $$ Ответ: $(2x - 3)(x + 1)$. --- ### Задание 3 Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч ($x > 0$), тогда скорость первого велосипедиста равна $(x + 3)$ км/ч. Время движения второго велосипедиста составляет $\frac{36}{x}$ ч, а первого — $\frac{36}{x + 3}$ ч. Так как первый прибыл на 1 ч быстрее второго, составим уравнение: $$ \frac{36}{x} - \frac{36}{x + 3} = 1 $$ Умножим обе части уравнения на $x(x + 3) \neq 0$: $36(x + 3) - 36x = x(x + 3)$ $36x + 108 - 36x = x^2 + 3x$ $x^2 + 3x - 108 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 9$, $x_2 = -12$ Значение $x_2 = -12$ не удовлетворяет смыслу задачи (скорость не может быть отрицательной). Значит, скорость второго велосипедиста равна $9$ км/ч. Скорость первого велосипедиста: $9 + 3 = 12$ км/ч. Ответ: 12 км/ч и 9 км/ч. --- ### Задание 4 Решить систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 72, \\ x + y = 9. \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов: $$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 72, \\ x + y = 9. \end{cases} $$ Подставим значение $x + y = 9$ в первое уравнение: $(x - y) \cdot 9 = 72 \implies x - y = 8$. Получаем линейную систему: $$ \begin{cases} x - y = 8, \\ x + y = 9. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2x = 17 \implies x = 8,5$. Вычтем из второго уравнения первое: $2y = 1 \implies y = 0,5$. Ответ: $(8,5;\; 0,5)$. --- ### Задание 5 Решить уравнение: $$ \frac{x}{x-2} + \frac{3}{x} = \frac{24 - 10x}{x^2 - 2x} $$ Разложим знаменатель дроби в правой части на множители: $x^2 - 2x = x(x - 2)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $x \neq 2$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x - 2)$: $x \cdot x + 3(x - 2) = 24 - 10x$ $x^2 + 3x - 6 = 24 - 10x$ $x^2 + 3x + 10x - 6 - 24 = 0$ $x^2 + 13x - 30 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = -15$, $x_2 = 2$. Значение $x = 2$ не входит в ОДЗ (является посторонним корнем). Значит, корнем уравнения является только $x = -15$. Ответ: $-15$. --- ### Задание 6 Упростить выражение: $$ \left( \frac{3x - x^2}{x^2 - 6x + 9} - \frac{10x - 4x^2}{4x^2 - 25} \right) \cdot (2x^2 - x - 15) $$ 1) Преобразуем первую дробь: $$ \frac{3x - x^2}{x^2 - 6x + 9} = \frac{-x(x - 3)}{(x - 3)^2} = \frac{-x}{x - 3} = -\frac{x}{x - 3} $$ 2) Преобразуем вторую дробь: $$ \frac{10x - 4x^2}{4x^2 - 25} = \frac{-2x(2x - 5)}{(2x - 5)(2x + 5)} = \frac{-2x}{2x + 5} = -\frac{2x}{2x + 5} $$ 3) Выполним вычитание в скобках: $$ -\frac{x}{x - 3} - \left(-\frac{2x}{2x + 5}\right) = -\frac{x}{x - 3} + \frac{2x}{2x + 5} = \frac{-x(2x + 5) + 2x(x - 3)}{(x - 3)(2x + 5)} = \frac{-2x^2 - 5x + 2x^2 - 6x}{(x - 3)(2x + 5)} = \frac{-11x}{(x - 3)(2x + 5)} $$ 4) Разложим трехчлен $2x^2 - x - 15$ на множители: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$ $x_1 = \frac{1 + 11}{4} = 3$, $x_2 = \frac{1 - 11}{4} = -2,5$ $2x^2 - x - 15 = 2(x - 3)(x + 2,5) = (x - 3)(2x + 5)$ 5) Выполним умножение: $$ \frac{-11x}{(x - 3)(2x + 5)} \cdot (x - 3)(2x + 5) = -11x $$ Ответ: $-11x$. --- ### Задание 7 Катер шёл расстояние 48 км дольше теплохода, следовательно, его скорость меньше скорости теплохода на 4 км/ч. Пусть скорость катера равна $v$ км/ч ($v > 0$), тогда скорость теплохода равна $(v + 4)$ км/ч. Время движения катера равно $\frac{48}{v}$ ч, теплохода — $\frac{48}{v + 4}$ ч. Так как катер затратил на 1 ч больше, составим уравнение: $$ \frac{48}{v} - \frac{48}{v + 4} = 1 $$ Умножим обе части уравнения на $v(v + 4) \neq 0$: $48(v + 4) - 48v = v(v + 4)$ $48v + 192 - 48v = v^2 + 4v$ $v^2 + 4v - 192 = 0$ $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 = 28^2$ $v_1 = \frac{-4 + 28}{2} = 12$ $v_2 = \frac{-4 - 28}{2} = -16$ (не подходит по смыслу задачи) Скорость катера равна $12$ км/ч, тогда скорость теплохода равна $12 + 4 = 16$ км/ч. Ответ: 12 км/ч и 16 км/ч. --- ### Задание 8 Решить систему уравнений: а) $$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63, \\ x - y = -3. \end{cases} $$ Выразим $x$ из второго уравнения: $x = y - 3$. Подставим в первое уравнение: $(y - 3)^2 - (y - 3)y + y^2 = 63$ $y^2 - 6y + 9 - y^2 + 3y + y^2 = 63$ $y^2 - 3y + 9 - 63 = 0$ $y^2 - 3y - 54 = 0$ По теореме Виета: $y_1 = 9$, $y_2 = -6$. Найдем соответствующие значения $x$: Если $y = 9$, то $x = 9 - 3 = 6$. Если $y = -6$, то $x = -6 - 3 = -9$. Ответ: $(6;\; 9),\; (-9;\; -6)$. б) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 2, \\ 2x^2 - y^2 + 2x - y = 4. \end{cases} $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \begin{cases} (x^2 + x) + (y^2 + y) = 2, \\ 2(x^2 + x) - (y^2 + y) = 4. \end{cases} $$ Пусть $u = x^2 + x$ и $v = y^2 + y$. Получаем линейную систему: $$ \begin{cases} u + v = 2, \\ 2u - v = 4. \end{cases} $$ Сложим эти уравнения: $3u = 6 \implies u = 2$. Тогда $v = 2 - u = 2 - 2 = 0$. Возвращаемся к замене: 1) $x^2 + x = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. 2) $y^2 + y = 0 \implies y(y + 1) = 0$ Отсюда $y_1 = 0$, $y_2 = -1$. Комбинируя полученные значения $x$ и $y$, получаем четыре решения: $(1;\; 0)$, $(1;\; -1)$, $(-2;\; 0)$, $(-2;\; -1)$. Ответ: $(1;\; 0),\; (1;\; -1),\; (-2;\; 0),\; (-2;\; -1)$. --- ### Задание 9 Дано уравнение: $$ ax^2 - 2ax - a + 2 = 0 $$ Рассмотрим два случая: 1) Если $a = 0$, то уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 2 \cdot 0 \cdot x - 0 + 2 = 0 \implies 2 = 0$ — равенство неверно, решений нет. 2) Если $a \neq 0$, то уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет один корень (два совпадающих корня), когда его дискриминант равен нулю ($D = 0$): $D = (-2a)^2 - 4 \cdot a \cdot (2 - a) = 4a^2 - 8a + 4a^2 = 8a^2 - 8a = 8a(a - 1)$ Приравняем дискриминант к нулю: $8a(a - 1) = 0$ Так как $a \neq 0$, то $a - 1 = 0 \implies a = 1$. Ответ: $a = 1$. --- ### Задание 10 По теореме Виета для корней уравнения $x^2 + px + q = 0$: $$ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q \quad (q \neq 0) $$ Пусть искомое уравнение имеет корни $y_1 = x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $y_2 = x_2 + \frac{1}{x_1}$. Найдем их сумму и произведение: 1) Сумма корней: $$ y_1 + y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_2}\right) + \left(x_2 + \frac{1}{x_1}\right) = (x_1 + x_2) + \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = -p + \frac{-p}{q} = -p\left(1 + \frac{1}{q}\right) = -\frac{p(q + 1)}{q} $$ 2) Произведение корней: $$ y_1 \cdot y_2 = \left(x_1 + \frac{1}{x_2}\right)\left(x_2 + \frac{1}{x_1}\right) = x_1 x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1 x_2} = q + 2 + \frac{1}{q} = \frac{q^2 + 2q + 1}{q} = \frac{(q + 1)^2}{q} $$ По теореме, обратной теореме Виета, приведенное уравнение имеет вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0$: $$ y^2 + \frac{p(q + 1)}{q}y + \frac{(q + 1)^2}{q} = 0 $$ Умножив обе части уравнения на $q \neq 0$, получаем: $$ qy^2 + p(q + 1)y + (q + 1)^2 = 0 $$ Ответ: $qy^2 + p(q + 1)y + (q + 1)^2 = 0$ (или $y^2 + \frac{p(q + 1)}{q}y + \frac{(q + 1)^2}{q} = 0$). --- ### Задание 11 Решить уравнение: $$ \frac{x^2 + 2x + 7}{x^2 + 2x + 3} = x^2 + 2x + 4 $$ Пусть $t = x^2 + 2x + 3$. Так как $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2 \ge 2 > 0$, знаменатель не обращается в ноль. Тогда числитель равен $t + 4$, а правая часть равна $t + 1$. Получаем уравнение: $$ \frac{t + 4}{t} = t + 1 $$ $t + 4 = t(t + 1)$ $t + 4 = t^2 + t$ $t^2 = 4 \implies t = \pm 2$ Вернемся к замене: 1) $x^2 + 2x + 3 = 2$ $x^2 + 2x + 1 = 0$ $(x + 1)^2 = 0 \implies x = -1$ 2) $x^2 + 2x + 3 = -2$ $x^2 + 2x + 5 = 0$ $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$ — действительных корней нет. Ответ: $-1$. --- ### Задание 12 Пусть искомое двузначное число равно $10a + b$, где $a$ — число десятков ($a \in \{1, 2, \dots, 9\}$), $b$ — число единиц ($b \in \{0, 1, \dots, 9\}$). По формуле деления с остатком: 1) При делении числа на произведение его цифр получается частное 2 и остаток 5: $10a + b = 2ab + 5$, причем остаток меньше делителя: $ab > 5$. 2) Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $10b + a$. При его делении на сумму цифр получается частное 7 и остаток 3: $10b + a = 7(a + b) + 3$, причем остаток меньше делителя: $a + b > 3$. Упростим второе уравнение: $10b + a = 7a + 7b + 3$ $3b - 6a = 3$ Разделим на 3: $b - 2a = 1 \implies b = 2a + 1$ Подставим выражение $b = 2a + 1$ в первое уравнение: $10a + (2a + 1) = 2a(2a + 1) + 5$ $12a + 1 = 4a^2 + 2a + 5$ $4a^2 - 10a + 4 = 0$ Разделим обе части на 2: $2a^2 - 5a + 2 = 0$ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$ $a_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$ $a_2 = \frac{5 - 3}{4} = 0,5$ — не является целым числом. Значит, $a = 2$. Тогда $b = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Проверим условия на остатки: $ab = 2 \cdot 5 = 10 > 5$; $a + b = 2 + 5 = 7 > 3$. Условия выполнены. Искомое число равно 25. Ответ: 25. --- ### Задание 13 Решить систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ 4x^2 + 9y^2 = 5. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Пусть $\frac{x}{y} = t$. Тогда первое уравнение принимает вид: $$ t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12} $$ $12t^2 - 25t + 12 = 0$ $D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$ $t_1 = \frac{25 + 7}{24} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$ $t_2 = \frac{25 - 7}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ Рассмотрим два случая: 1) $\frac{x}{y} = \frac{4}{3} \implies x = \frac{4}{3}y$. Подставим во второе уравнение: $4\left(\frac{4}{3}y\right)^2 + 9y^2 = 5$ $4 \cdot \frac{16}{9}y^2 + 9y^2 = 5$ $\frac{64}{9}y^2 + \frac{81}{9}y^2 = 5$ $\frac{145}{9}y^2 = 5$ $y^2 = 5 \cdot \frac{9}{145} = \frac{9}{29}$ $y = \pm \frac{3}{\sqrt{29}} = \pm \frac{3\sqrt{29}}{29}$ Тогда: $x = \frac{4}{3}y = \pm \frac{4\sqrt{29}}{29}$ Получаем пары: $\left(\frac{4\sqrt{29}}{29};\; \frac{3\sqrt{29}}{29}\right)$ и $\left(-\frac{4\sqrt{29}}{29};\; -\frac{3\sqrt{29}}{29}\right)$. 2) $\frac{x}{y} = \frac{3}{4} \implies x = \frac{3}{4}y$. Подставим во второе уравнение: $4\left(\frac{3}{4}y\right)^2 + 9y^2 = 5$ $4 \cdot \frac{9}{16}y^2 + 9y^2 = 5$ $\frac{9}{4}y^2 + 9y^2 = 5$ $\frac{45}{4}y^2 = 5$ $y^2 = 5 \cdot \frac{4}{45} = \frac{4}{9}$ $y = \pm \frac{2}{3}$ Тогда: $x = \frac{3}{4}y = \pm \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \pm \frac{1}{2}$ Получаем пары: $\left(\frac{1}{2};\; \frac{2}{3}\right)$ и $\left(-\frac{1}{2};\; -\frac{2}{3}\right)$. Ответ: $\left(\frac{1}{2};\; \frac{2}{3}\right),\; \left(-\frac{1}{2};\; -\frac{2}{3}\right),\; \left(\frac{4\sqrt{29}}{29};\; \frac{3\sqrt{29}}{29}\right),\; \left(-\frac{4\sqrt{29}}{29};\; -\frac{3\sqrt{29}}{29}\right)$.