ГДЗ по Геометрия за 7-9 классы Атанасян, Бутузов, Кадомцев ответ на задачу 960

### Итоговый ответ В формулировке задачи содержится опечатка в первом слагаемом: вместо $\overrightarrow{XX}$ следует читать $\overrightarrow{XA}$. Требуемое равенство: $$\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD}$$ **доказано** для любой точки $X$ плоскости и любого параллелограмма $ABCD$. --- ### Подробное объяснение и доказательство Доказать это равенство можно несколькими простыми способами, изучаемыми в курсе геометрии. #### Способ 1 (через точку пересечения диагоналей) 1. Пусть диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. 2. По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть: * точка $O$ — середина диагонали $AC$, откуда векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OC}$ противоположны: $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$$ * точка $O$ — середина диагонали $BD$, откуда векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OD}$ противоположны: $$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$$ 3. По правилу треугольника представим векторы через точку $O$: $$\overrightarrow{XA} = \overrightarrow{XO} + \overrightarrow{OA}$$ $$\overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XO} + \overrightarrow{OC}$$ Сложим эти два равенства: $$\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = (\overrightarrow{XO} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{XO} + \overrightarrow{OC}) = 2\overrightarrow{XO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) = 2\overrightarrow{XO} + \vec{0} = 2\overrightarrow{XO}$$ 4. Аналогично поступим для правой части: $$\overrightarrow{XB} = \overrightarrow{XO} + \overrightarrow{OB}$$ $$\overrightarrow{XD} = \overrightarrow{XO} + \overrightarrow{OD}$$ Сложим эти два равенства: $$\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD} = (\overrightarrow{XO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{XO} + \overrightarrow{OD}) = 2\overrightarrow{XO} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) = 2\overrightarrow{XO} + \vec{0} = 2\overrightarrow{XO}$$ 5. Обе суммы равны одному и тому же вектору $2\overrightarrow{XO}$: $$\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD} = 2\overrightarrow{XO}$$ Что и требовалось доказать. --- #### Способ 2 (через разность векторов и стороны параллелограмма) 1. Преобразуем доказываемое равенство, перенеся слагаемые: $$\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD} \iff \overrightarrow{XA} - \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{XD} - \overrightarrow{XC}$$ 2. По правилу вычитания векторов: * $\overrightarrow{XA} - \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{BA}$ * $\overrightarrow{XD} - \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{CD}$ 3. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны и равны по длине, а направления от $B$ к $A$ и от $C$ к $D$ совпадают: $$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$$ 4. Поскольку $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$, то: $$\overrightarrow{XA} - \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{XD} - \overrightarrow{XC} \implies \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD}$$ Равенство доказано.