ГДЗ по Геометрия за 7-9 классы Атанасян, Бутузов, Кадомцев ответ на задачу 959

### Ответ * $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \vec{a} - \vec{b}$ * $\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = \vec{b}$ * $\overrightarrow{BO} - \overrightarrow{OC} = -\vec{a}$ * $\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{DA} = \vec{b} - \vec{a}$ (или $-\vec{a} + \vec{b}$) --- ### Объяснение По условию дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Даны векторы сторон: $$\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \quad \overrightarrow{AD} = \vec{b}$$ По свойствам параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны, поэтому: * $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$ (сонаправлены и равны по длине); * $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$ (сонаправлены и равны по длине). Векторы, направленные в противоположные стороны, отличаются знаком «минус»: * $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{a}$; * $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} = -\vec{b}$; * $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} = -\vec{b}$. --- #### 1. Выразим $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB}$ * **Способ 1 (через подстановку):** $$\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$$ * **Способ 2 (по правилу треугольника):** Сумма векторов $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}$. В треугольнике $ABD$: $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \vec{a} - \vec{b}$. --- #### 2. Выразим $\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC}$ По правилу сложения векторов (правилу треугольника): Конец первого вектора (точка $O$) совпадает с началом второго вектора (точка $O$): $$\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BC}$$ Так как $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$, получаем: $$\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC} = \vec{b}$$ --- #### 3. Выразим $\overrightarrow{BO} - \overrightarrow{OC}$ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому отрезок $AO$ равен отрезку $OC$, и векторы сонаправлены: $$\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$$ Заменим вектор $\overrightarrow{OC}$ на равный ему вектор $\overrightarrow{AO}$: $$\overrightarrow{BO} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BO} - \overrightarrow{AO}$$ Вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного ($\overrightarrow{BO} - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA}$): $$\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BA}$$ Так как $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{a}$, получаем: $$\overrightarrow{BO} - \overrightarrow{OC} = -\vec{a}$$ *(Тот же результат можно получить алгебраически: $\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$, $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$, тогда $\overrightarrow{BO} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\vec{a}$)*. --- #### 4. Выразим $\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{DA}$ * **Способ 1 (по определению противоположных векторов):** $$\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$$ $$\overrightarrow{DA} = -\vec{b}$$ Тогда: $$\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{DA} = -\vec{a} - (-\vec{b}) = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$$ * **Способ 2 (через сложение):** Заменим вычитание вектора $\overrightarrow{DA}$ на сложение с противоположным вектором $\overrightarrow{AD}$: $$\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$$ Вектор $\overrightarrow{BD}$ выражается как разность векторов $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.