ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков повторение / упражнение - 0.30

Чтобы составить систему неравенств, решения которой лежат на сторонах треугольника $ABC$ и внутри него, найдем уравнения прямых, содержащих стороны треугольника, и определим соответствующие полуплоскости. **1. Сторона $AB$:** Прямая проходит через точки $A(-3; -3)$ и $B(0; 3)$. Запишем уравнение прямой в виде $y = kx + b$. Так как прямая пересекает ось $Oy$ в точке $B(0; 3)$, получаем $b = 3$. Подставим координаты точки $A(-3; -3)$: $$-3 = k \cdot (-3) + 3$$ $$-3k = -6$$ $$k = 2$$ Уравнение прямой $AB$: $y = 2x + 3$. Треугольник лежит по ту же сторону от прямой $AB$, что и вершина $C(3; -1)$. Подставим её координаты: $$-1 \le 2 \cdot 3 + 3 \implies -1 \le 9 \text{ (верно)}$$ Следовательно, получаем неравенство: $$y \le 2x + 3$$ **2. Сторона $BC$:** Прямая проходит через точки $B(0; 3)$ и $C(3; -1)$. Так как точка $B(0; 3)$ лежит на оси $Oy$, то $b = 3$. Подставим координаты точки $C(3; -1)$ в уравнение $y = kx + 3$: $$-1 = k \cdot 3 + 3$$ $$3k = -4$$ $$k = -\dfrac{4}{3}$$ Уравнение прямой $BC$: $y = -\dfrac{4}{3}x + 3$. Треугольник лежит по ту же сторону от прямой $BC$, что и вершина $A(-3; -3)$. Подставим её координаты: $$-3 \le -\dfrac{4}{3} \cdot (-3) + 3 \implies -3 \le 7 \text{ (верно)}$$ Следовательно, получаем неравенство: $$y \le -\dfrac{4}{3}x + 3$$ **3. Сторона $AC$:** Прямая проходит через точки $A(-3; -3)$ и $C(3; -1)$. Найдем угловой коэффициент $k$: $$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{-1 - (-3)}{3 - (-3)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$$ Подставим координаты точки $C(3; -1)$ в уравнение $y = \dfrac{1}{3}x + b$: $$-1 = \dfrac{1}{3} \cdot 3 + b$$ $$-1 = 1 + b$$ $$b = -2$$ Уравнение прямой $AC$: $y = \dfrac{1}{3}x - 2$. Треугольник лежит по ту же сторону от прямой $AC$, что и вершина $B(0; 3)$. Подставим её координаты: $$3 \ge \dfrac{1}{3} \cdot 0 - 2 \implies 3 \ge -2 \text{ (верно)}$$ Следовательно, получаем неравенство: $$y \ge \dfrac{1}{3}x - 2$$ Так как точки должны находиться как внутри треугольника, так и на его сторонах, все неравенства являются нестрогими. Объединяем полученные неравенства в систему: $$ \begin{cases} y \le 2x + 3 \\ y \le -\dfrac{4}{3}x + 3 \\ y \ge \dfrac{1}{3}x - 2 \end{cases} $$ Эту же систему можно записать в общем виде: $$ \begin{cases} 2x - y \ge -3 \\ 4x + 3y \le 9 \\ x - 3y \le 6 \end{cases} $$ Ответ: $$ \begin{cases} y \le 2x + 3 \\ y \le -\dfrac{4}{3}x + 3 \\ y \ge \dfrac{1}{3}x - 2 \end{cases} $$