ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков повторение / упражнение - 0.23

1) Решим систему линейных уравнений относительно переменных $x$ и $y$ методом сложения: $$ \begin{cases} px - qy = a, \\ lx + my = b. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $m$, а второе — на $q$: $$ \begin{cases} pmx - qmy = am, \\ lqx + mqy = bq. \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$ (pm + ql)x = am + bq $$ При условии, что $pm + ql \neq 0$: $$ x = \frac{am + bq}{pm + ql} $$ Теперь умножим первое уравнение исходной системы на $l$, а второе — на $p$: $$ \begin{cases} plx - qly = al, \\ plx + pmy = bp. \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (pm + ql)y = bp - al $$ При условии, что $pm + ql \neq 0$: $$ y = \frac{bp - al}{pm + ql} $$ Ответ: при $pm + ql \neq 0$: $x = \frac{am + bq}{pm + ql}$, $y = \frac{bp - al}{pm + ql}$. --- 2) Запишем систему в стандартном виде: $$ \begin{cases} \dfrac{2x + 3}{3y - 2} = 1, \\ x(2y - 5) - 2y(x + 3) = 2x + 1. \end{cases} $$ Область допустимых значений: знаменатель дроби не равен нулю, то есть $3y - 2 \neq 0$, откуда $y \neq \frac{2}{3}$. Преобразуем первое уравнение: $$ 2x + 3 = 3y - 2 $$ $$ 2x - 3y = -5 $$ Раскроем скобки во втором уравнении: $$ 2xy - 5x - 2xy - 6y = 2x + 1 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -5x - 6y = 2x + 1 $$ $$ -7x - 6y = 1 \quad \text{или} \quad 7x + 6y = -1 $$ Получили систему: $$ \begin{cases} 2x - 3y = -5, \\ 7x + 6y = -1. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $2$: $$ \begin{cases} 4x - 6y = -10, \\ 7x + 6y = -1. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 11x = -11 $$ $$ x = -1 $$ Подставим найденное значение $x = -1$ в уравнение $2x - 3y = -5$: $$ 2(-1) - 3y = -5 $$ $$ -2 - 3y = -5 $$ $$ -3y = -3 $$ $$ y = 1 $$ Значение $y = 1$ удовлетворяет условию $y \neq \frac{2}{3}$. Ответ: $(-1; 1)$. --- 3) Решим систему относительно переменных $x$ и $y$: $$ \begin{cases} bx + ay = ab, \\ bx + 1 = a + y. \end{cases} $$ Перенесем переменные во втором уравнении в левую часть, а числа — в правую: $$ \begin{cases} bx + ay = ab, \\ bx - y = a - 1. \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (bx + ay) - (bx - y) = ab - (a - 1) $$ $$ ay + y = ab - a + 1 $$ $$ (a + 1)y = ab - a + 1 $$ При условии $a + 1 \neq 0$ ($a \neq -1$): $$ y = \frac{ab - a + 1}{a + 1} $$ Выразим $bx$ из второго уравнения: $$ bx = y + a - 1 $$ Подставим найденное выражение для $y$: $$ bx = \frac{ab - a + 1}{a + 1} + a - 1 $$ Приведем к общему знаменателю: $$ bx = \frac{ab - a + 1 + (a - 1)(a + 1)}{a + 1} $$ $$ bx = \frac{ab - a + 1 + a^2 - 1}{a + 1} $$ $$ bx = \frac{a^2 + ab - a}{a + 1} = \frac{a(a + b - 1)}{a + 1} $$ При условии $b \neq 0$: $$ x = \frac{a(a + b - 1)}{b(a + 1)} $$ Ответ: при $a \neq -1$ и $b \neq 0$: $x = \frac{a(a + b - 1)}{b(a + 1)}$, $y = \frac{ab - a + 1}{a + 1}$. --- 4) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \dfrac{x + 1}{y + 2} = 5, \\ 3(2x - 5) - 4(3y + 4) = 5. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $y + 2 \neq 0 \implies y \neq -2$. Преобразуем первое уравнение: $$ x + 1 = 5(y + 2) $$ $$ x + 1 = 5y + 10 $$ $$ x - 5y = 9 $$ Раскроем скобки во втором уравнении: $$ 6x - 15 - 12y - 16 = 5 $$ $$ 6x - 12y - 31 = 5 $$ $$ 6x - 12y = 36 $$ Разделим обе части на $6$: $$ x - 2y = 6 $$ Получили систему: $$ \begin{cases} x - 5y = 9, \\ x - 2y = 6. \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (x - 2y) - (x - 5y) = 6 - 9 $$ $$ 3y = -3 $$ $$ y = -1 $$ Найдем значение $x$, подставив $y = -1$ в уравнение $x - 2y = 6$: $$ x - 2(-1) = 6 $$ $$ x + 2 = 6 $$ $$ x = 4 $$ Значение $y = -1$ удовлетворяет условию $y \neq -2$. Ответ: $(4; -1)$.