ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 617

### а) $$\frac{a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}{a^{-2} - b^{-2}}$$ 1. Применим формулы сокращенного умножения: в числителе — квадрат суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^{-1}$, $y = b^{-1}$; в знаменателе — разность квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. $$a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2} = (a^{-1} + b^{-1})^2$$ $$a^{-2} - b^{-2} = (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})$$ 2. Сократим дробь на общий множитель $(a^{-1} + b^{-1})$: $$\frac{(a^{-1} + b^{-1})^2}{(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})} = \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}}$$ 3. Перейдем от отрицательных показателей к обыкновенным дробям: $$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{b + a}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} = \frac{b + a}{ab} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{a + b}{b - a}$$ **Ответ:** $\frac{a + b}{b - a}$ --- ### б) $$\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}$$ 1. Разложим числитель по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{-1}$, $y = b^{-1}$: $$a^{-3} + b^{-3} = (a^{-1})^3 + (b^{-1})^3 = (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$$ 2. Подставим полученное выражение в числитель и сократим дробь: $$\frac{(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}} = a^{-1} + b^{-1}$$ 3. Запишем результат в виде рациональной дроби: $$a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$$ **Ответ:** $\frac{a + b}{ab}$ (или $a^{-1} + b^{-1}$) --- ### в) $$\left( \frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \right)^5 \cdot \left( \frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \right)^{-5}$$ При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$): $$\left( \frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \right)^{5 + (-5)} = \left( \frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \right)^0 = 1$$ **Ответ:** $1$ --- ### г) $$\left( \frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}} \right)^7 : \left( \frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}} \right)^{-7}$$ 1. Используем свойство степени с отрицательным показателем для дроби $\left( \frac{x}{y} \right)^{-n} = \left( \frac{y}{x} \right)^n$: $$\left( \frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}} \right)^{-7} = \left( \frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}} \right)^7$$ 2. Выполним деление одинаковых выражений: $$\left( \frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}} \right)^7 : \left( \frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}} \right)^7 = 1$$ **Ответ:** $1$ --- ### д) $$\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}$$ 1. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $b^2$, для второй — $ab$, для третьей — $a^2$: $$\frac{1 \cdot b^2}{a^2b^2} + \frac{2 \cdot ab}{a^2b^2} + \frac{1 \cdot a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 + 2ab + a^2}{a^2b^2}$$ 2. Свернем числитель по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$: $$\frac{(a + b)^2}{a^2b^2} = \left( \frac{a + b}{ab} \right)^2$$ **Ответ:** $\frac{(a + b)^2}{a^2b^2}$ (или $\left( \frac{a + b}{ab} \right)^2$) --- ### е) $$\frac{1}{a^3} - \frac{2}{a^2b} + \frac{1}{ab^2} - \frac{1}{b^3}$$ 1. Найдем общий знаменатель для всех дробей — это наименьшее общее кратное знаменателей, то есть $a^3b^3$. 2. Определим дополнительные множители: — к первой дроби: $\frac{a^3b^3}{a^3} = b^3$; — ко второй дроби: $\frac{a^3b^3}{a^2b} = ab^2$; — к третьей дроби: $\frac{a^3b^3}{ab^2} = a^2b$; — к четвертой дроби: $\frac{a^3b^3}{b^3} = a^3$. 3. Запишем выражение под одной дробной чертой: $$\frac{1 \cdot b^3 - 2 \cdot ab^2 + 1 \cdot a^2b - 1 \cdot a^3}{a^3b^3} = \frac{b^3 - 2ab^2 + a^2b - a^3}{a^3b^3}$$ **Ответ:** $\frac{b^3 - 2ab^2 + a^2b - a^3}{a^3b^3}$