ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 538

### а) $\frac{a-1}{2a}\cdot\left(\frac{a+3}{a+1}-\frac{a^2-5}{a^2-1}\right)$ 1. Выполним вычитание дробей в скобках. Знаменатель второй дроби разложим по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$. Общий знаменатель равен $(a-1)(a+1)$: $$ \frac{a+3}{a+1} - \frac{a^2-5}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+3)(a-1) - (a^2-5)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 - a + 3a - 3 - a^2 + 5}{(a-1)(a+1)} = \frac{2a+2}{(a-1)(a+1)} $$ Вынесем общий множитель $2$ в числителе и сократим дробь на $(a+1)$: $$ \frac{2(a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2}{a-1} $$ 2. Выполним умножение дробей: $$ \frac{a-1}{2a} \cdot \frac{2}{a-1} = \frac{(a-1) \cdot 2}{2a(a-1)} = \frac{1}{a} $$ Ответ: $\frac{1}{a}$ --- ### б) $\left(\frac{c+3}{c-3}-\frac{c}{c+3}\right)\cdot\frac{c-3}{c+1}$ 1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель равен $(c-3)(c+3)$: $$ \frac{c+3}{c-3} - \frac{c}{c+3} = \frac{(c+3)^2 - c(c-3)}{(c-3)(c+3)} = \frac{c^2 + 6c + 9 - (c^2 - 3c)}{(c-3)(c+3)} = \frac{c^2 + 6c + 9 - c^2 + 3c}{(c-3)(c+3)} = \frac{9c+9}{(c-3)(c+3)} $$ Вынесем общий множитель $9$ в числителе: $$ \frac{9(c+1)}{(c-3)(c+3)} $$ 2. Выполним умножение дробей: $$ \frac{9(c+1)}{(c-3)(c+3)} \cdot \frac{c-3}{c+1} = \frac{9(c+1)(c-3)}{(c-3)(c+3)(c+1)} = \frac{9}{c+3} $$ Ответ: $\frac{9}{c+3}$ --- ### в) $\left(\frac{14+a^2}{a^2-4}-\frac{a-4}{a+2}\right)\cdot\frac{a-2}{6}$ 1. Выполним вычитание дробей в скобках. Знаменатель первой дроби разложим как разность квадратов: $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$. Общий знаменатель равен $(a-2)(a+2)$: $$ \frac{14+a^2}{(a-2)(a+2)} - \frac{a-4}{a+2} = \frac{14+a^2 - (a-4)(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{14+a^2 - (a^2 - 6a + 8)}{(a-2)(a+2)} = \frac{14+a^2 - a^2 + 6a - 8}{(a-2)(a+2)} = \frac{6a+6}{(a-2)(a+2)} $$ Вынесем общий множитель $6$ за скобки: $$ \frac{6(a+1)}{(a-2)(a+2)} $$ 2. Выполним умножение дробей: $$ \frac{6(a+1)}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{6} = \frac{6(a+1)(a-2)}{(a-2)(a+2) \cdot 6} = \frac{a+1}{a+2} $$ Ответ: $\frac{a+1}{a+2}$ --- ### г) $\left(\frac{a}{a-4}-\frac{a-4}{a+4}\right)\cdot\frac{a+4}{4}$ 1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель равен $(a-4)(a+4)$: $$ \frac{a}{a-4} - \frac{a-4}{a+4} = \frac{a(a+4) - (a-4)^2}{(a-4)(a+4)} = \frac{a^2 + 4a - (a^2 - 8a + 16)}{(a-4)(a+4)} = \frac{a^2 + 4a - a^2 + 8a - 16}{(a-4)(a+4)} = \frac{12a-16}{(a-4)(a+4)} $$ Вынесем общий множитель $4$ за скобки: $$ \frac{4(3a-4)}{(a-4)(a+4)} $$ 2. Выполним умножение дробей: $$ \frac{4(3a-4)}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{a+4}{4} = \frac{4(3a-4)(a+4)}{(a-4)(a+4) \cdot 4} = \frac{3a-4}{a-4} $$ Ответ: $\frac{3a-4}{a-4}$ --- ### д) $\left(\frac{y+1}{y-1}-\frac{y-1}{y+1}\right)\cdot\frac{y+1}{4y}$ 1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель равен $(y-1)(y+1)$: $$ \frac{y+1}{y-1} - \frac{y-1}{y+1} = \frac{(y+1)^2 - (y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y^2 + 2y + 1) - (y^2 - 2y + 1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{y^2 + 2y + 1 - y^2 + 2y - 1}{(y-1)(y+1)} = \frac{4y}{(y-1)(y+1)} $$ 2. Выполним умножение дробей: $$ \frac{4y}{(y-1)(y+1)} \cdot \frac{y+1}{4y} = \frac{4y(y+1)}{(y-1)(y+1) \cdot 4y} = \frac{1}{y-1} $$ Ответ: $\frac{1}{y-1}$ --- ### е) $\left(\frac{1+a}{1-a}-\frac{1-a}{1+a}\right):\frac{2a}{1-a}$ 1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель равен $(1-a)(1+a)$: $$ \frac{1+a}{1-a} - \frac{1-a}{1+a} = \frac{(1+a)^2 - (1-a)^2}{(1-a)(1+a)} = \frac{(1 + 2a + a^2) - (1 - 2a + a^2)}{(1-a)(1+a)} = \frac{1 + 2a + a^2 - 1 + 2a - a^2}{(1-a)(1+a)} = \frac{4a}{(1-a)(1+a)} $$ 2. Заменим деление умножением на взаимно обратную дробь: $$ \frac{4a}{(1-a)(1+a)} : \frac{2a}{1-a} = \frac{4a}{(1-a)(1+a)} \cdot \frac{1-a}{2a} = \frac{4a(1-a)}{(1-a)(1+a) \cdot 2a} = \frac{2}{1+a} $$ Ответ: $\frac{2}{1+a}$ --- ### ж) $\frac{4y}{y-1}\cdot\left(\frac{y}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8y}\right)$ 1. Выполним действия в скобках. Общий знаменатель для $8$, $4$ и $8y$ равен $8y$: $$ \frac{y}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8y} = \frac{y \cdot y - 1 \cdot 2y + 1}{8y} = \frac{y^2 - 2y + 1}{8y} = \frac{(y-1)^2}{8y} $$ 2. Выполним умножение дробей: $$ \frac{4y}{y-1} \cdot \frac{(y-1)^2}{8y} = \frac{4y(y-1)^2}{(y-1) \cdot 8y} = \frac{y-1}{2} $$ Ответ: $\frac{y-1}{2}$ --- ### з) $\left(\frac{a}{8}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6a}\right):\frac{a+1}{12a}$ 1. Выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для $8$, $3$ и $6a$ равен $24a$: $$ \frac{a}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6a} = \frac{a \cdot 3a + 1 \cdot 8a + 1 \cdot 4}{24a} = \frac{3a^2 + 8a + 4}{24a} $$ Разложим числитель на множители способом группировки: $$ 3a^2 + 8a + 4 = 3a^2 + 6a + 2a + 4 = 3a(a+2) + 2(a+2) = (3a+2)(a+2) $$ 2. Заменим деление умножением на обратную дробь: $$ \frac{(3a+2)(a+2)}{24a} : \frac{a+1}{12a} = \frac{(3a+2)(a+2)}{24a} \cdot \frac{12a}{a+1} = \frac{(3a+2)(a+2) \cdot 12a}{24a(a+1)} = \frac{(3a+2)(a+2)}{2(a+1)} = \frac{3a^2+8a+4}{2(a+1)} $$ *Примечание:* если в первой дроби знаменатель равен $6$ (типографская опечатка: $\frac{a}{6}$ вместо $\frac{a}{8}$), то в скобках получается полный квадрат: $$ \frac{a}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6a} = \frac{a^2 + 2a + 1}{6a} = \frac{(a+1)^2}{6a} $$ $$ \frac{(a+1)^2}{6a} : \frac{a+1}{12a} = \frac{(a+1)^2}{6a} \cdot \frac{12a}{a+1} = 2(a+1) $$ Ответ: $\frac{3a^2+8a+4}{2(a+1)}$ (при условии $\frac{a}{6}$ ответ: $2(a+1)$)