ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 473

а) $a^2 + 8a + 15$ Выделим квадрат двучлена, представив слагаемое $8a$ как удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot 4$: $$ a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 - 4^2 + 15 = (a + 4)^2 - 16 + 15 = (a + 4)^2 - 1 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ (a + 4)^2 - 1^2 = (a + 4 - 1)(a + 4 + 1) = (a + 3)(a + 5) $$ Ответ: $(a + 3)(a + 5)$. --- б) $x^4 + 4b^4$ Представим выражение в виде суммы квадратов: $(x^2)^2 + (2b^2)^2$. Чтобы получить полный квадрат суммы, прибавим и вычтем удвоенное произведение $2 \cdot x^2 \cdot 2b^2 = 4x^2b^2$: $$ (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 - 4x^2b^2 = (x^2 + 2b^2)^2 - (2xb)^2 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ (x^2 + 2b^2 - 2xb)(x^2 + 2b^2 + 2xb) = (x^2 - 2bx + 2b^2)(x^2 + 2bx + 2b^2) $$ Ответ: $(x^2 - 2bx + 2b^2)(x^2 + 2bx + 2b^2)$. --- в) $x^2 - 2xy - 3y^2$ Выделим квадрат разности, добавив и вычтя $y^2$: $$ (x^2 - 2xy + y^2) - y^2 - 3y^2 = (x - y)^2 - 4y^2 = (x - y)^2 - (2y)^2 $$ Разложим полученную разность квадратов: $$ (x - y - 2y)(x - y + 2y) = (x - 3y)(x + y) $$ Ответ: $(x - 3y)(x + y)$. --- г) $m^2 + 7m + 10$ Представим $7m$ в виде удвоенного произведения: $2 \cdot m \cdot \frac{7}{2}$. Выделим полный квадрат: $$ m^2 + 2 \cdot m \cdot \frac{7}{2} + \left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 + 10 = \left(m + \frac{7}{2}\right)^2 - \frac{49}{4} + 10 $$ Приведём к общему знаменателю числовую часть: $$ -\frac{49}{4} + \frac{40}{4} = -\frac{9}{4} = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 $$ Получаем: $$ \left(m + \frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(m + \frac{7}{2} - \frac{3}{2}\right)\left(m + \frac{7}{2} + \frac{3}{2}\right) = (m + 2)(m + 5) $$ Ответ: $(m + 2)(m + 5)$. --- д) $p^2 - 5p + 6$ Выделим полный квадрат, представив $5p$ как $2 \cdot p \cdot \frac{5}{2}$: $$ p^2 - 2 \cdot p \cdot \frac{5}{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 6 = \left(p - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + 6 $$ Вычислим свободный член: $$ -\frac{25}{4} + \frac{24}{4} = -\frac{1}{4} = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 $$ Разложим как разность квадратов: $$ \left(p - \frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(p - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}\right)\left(p - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\right) = (p - 3)(p - 2) $$ Ответ: $(p - 3)(p - 2)$. --- е) $3m^2 + 27m + 54$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки: $$ 3(m^2 + 9m + 18) $$ Выделим полный квадрат в скобках: $$ m^2 + 2 \cdot m \cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2 + 18 = \left(m + \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{81}{4} + \frac{72}{4} = \left(m + \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} $$ Разложим на множители по формуле разности квадратов: $$ \left(m + \frac{9}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(m + \frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)\left(m + \frac{9}{2} + \frac{3}{2}\right) = (m + 3)(m + 6) $$ С учётом вынесенной тройки получаем: $$ 3(m + 3)(m + 6) $$ Ответ: $3(m + 3)(m + 6)$. --- ж) $x^2 + x - 12$ Выделим полный квадрат, записав $x$ как $2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$: $$ x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 12 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - \frac{48}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{49}{4} $$ Разложим разность квадратов: $$ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{2} - \frac{7}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2} + \frac{7}{2}\right) = (x - 3)(x + 4) $$ Ответ: $(x - 3)(x + 4)$. --- з) $a^2 + 6a + 8$ Выделим полный квадрат, представив $6a$ как $2 \cdot a \cdot 3$: $$ a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 8 = (a + 3)^2 - 9 + 8 = (a + 3)^2 - 1 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ (a + 3)^2 - 1^2 = (a + 3 - 1)(a + 3 + 1) = (a + 2)(a + 4) $$ Ответ: $(a + 2)(a + 4)$. --- и) $x^2 - x - 12$ Выделим полный квадрат, записав $x$ как $2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$: $$ x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 12 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - \frac{48}{4} = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{49}{4} $$ Разложим разность квадратов: $$ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{2} - \frac{7}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2} + \frac{7}{2}\right) = (x - 4)(x + 3) $$ Ответ: $(x - 4)(x + 3)$.