ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 174

Запишем шестизначное число $a = \overline{a_5a_4a_3a_2a_1a_0}$ в виде суммы разрядных слагаемых: $$ a = a_5 \cdot 10^5 + a_4 \cdot 10^4 + a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0 $$ Представим степени числа $10$ в виде сумм и разностей чисел, делящихся на $11$, и единицы: - $10 = 11 - 1$ - $10^2 = 100 = 99 + 1$ - $10^3 = 1000 = 1001 - 1$ - $10^4 = 10000 = 9999 + 1$ - $10^5 = 100000 = 100001 - 1$ Подставим эти выражения в запись числа $a$: $$ a = a_5(100001 - 1) + a_4(9999 + 1) + a_3(1001 - 1) + a_2(99 + 1) + a_1(11 - 1) + a_0 $$ Раскроем скобки: $$ a = 100001a_5 - a_5 + 9999a_4 + a_4 + 1001a_3 - a_3 + 99a_2 + a_2 + 11a_1 - a_1 + a_0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ a = (100001a_5 + 9999a_4 + 1001a_3 + 99a_2 + 11a_1) + (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5) $$ Рассмотрим первую группу слагаемых: - $11 = 11 \cdot 1$ делится на $11$; - $99 = 11 \cdot 9$ делится на $11$; - $1001 = 11 \cdot 91$ делится на $11$; - $9999 = 11 \cdot 909$ делится на $11$; - $100001 = 11 \cdot 9091$ делится на $11$. Так как каждое слагаемое в первых скобках делится на $11$, то и вся сумма $(100001a_5 + 9999a_4 + 1001a_3 + 99a_2 + 11a_1)$ делится на $11$. По свойству делимости, если каждое из двух слагаемых делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Значит, если сумма $(a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5)$ делится на $11$, то и само число $a$ делится на $11$, что и требовалось доказать.