ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 127

а) Запишем периодическую десятичную дробь в развёрнутом виде: $$ 0,(75) = 0,75757575\ldots $$ Для обоснования двойного неравенства сравним числа поразрядно: 1. Сравним $0,75757$ и $0,(75)$: Запишем конечную десятичную дробь с нулями на конце: $$ 0,75757 = 0,757570\ldots $$ $$ 0,(75) = 0,757575\ldots $$ Первые пять цифр после запятой ($7, 5, 7, 5, 7$) у обоих чисел совпадают. В шестом разряде после запятой (в разряде миллионных) у первого числа стоит цифра $0$, а у второго — цифра $5$. Так как $0 < 5$, получаем: $$ 0,75757 < 0,(75) $$ 2. Сравним $0,(75)$ и $0,75758$: $$ 0,(75) = 0,757575\ldots $$ $$ 0,75758 = 0,757580\ldots $$ Первые четыре цифры после запятой ($7, 5, 7, 5$) совпадают. В пятом разряде после запятой (в разряде стотысячных) у первого числа стоит цифра $7$, а у второго — цифра $8$. Так как $7 < 8$, получаем: $$ 0,(75) < 0,75758 $$ Оба неравенства выполняются, следовательно, двойное неравенство $0,75757 < 0,(75) < 0,75758$ справедливо. --- б) Запишем периодическую десятичную дробь в развёрнутом виде: $$ 3,(023) = 3,023023023\ldots $$ Сравним числа поразрядно: 1. Сравним $3,023023$ и $3,(023)$: $$ 3,023023 = 3,02302300\ldots $$ $$ 3,(023) = 3,02302302\ldots $$ Целые части и первые семь знаков после запятой ($0, 2, 3, 0, 2, 3, 0$) у чисел совпадают. В восьмом знаке после запятой у первого числа стоит цифра $0$, а у второго — цифра $2$. Так как $0 < 2$, получаем: $$ 3,023023 < 3,(023) $$ 2. Сравним $3,(023)$ и $3,023024$: $$ 3,(023) = 3,023023\ldots $$ $$ 3,023024 = 3,023024\ldots $$ Целые части и первые пять цифр после запятой ($0, 2, 3, 0, 2$) совпадают. В шестом знаке после запятой (в разряде миллионных) у первого числа стоит цифра $3$, а у второго — цифра $4$. Так как $3 < 4$, получаем: $$ 3,(023) < 3,023024 $$ Оба неравенства выполняются, следовательно, двойное неравенство $3,023023 < 3,(023) < 3,023024$ справедливо.