ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 1071

Примем объём всей работы за $1$. Пусть $x$ — производительность работника А (часть работы, которую он выполняет за один день), $y$ — производительность работника Б, $z$ — производительность работника В. По условию задачи: — А и Б вместе выполняют работу за $a$ дней, значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{a}$: $$ x + y = \frac{1}{a} $$ — А и В вместе выполняют работу за $b$ дней, значит: $$ x + z = \frac{1}{b} $$ — Б и В вместе выполняют работу за $c$ дней, значит: $$ y + z = \frac{1}{c} $$ Сложим все три уравнения: $$ (x + y) + (x + z) + (y + z) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $$ $$ 2(x + y + z) = \frac{bc + ac + ab}{abc} $$ Разделим обе части равенства на $2$ и найдем совместную производительность всех троих работников: $$ x + y + z = \frac{ab + bc + ac}{2abc} $$ Найдем производительность каждого работника в отдельности: 1. Производительность работника А равна разности производительности всех троих и совместной производительности Б и В: $$ x = (x + y + z) - (y + z) = \frac{ab + bc + ac}{2abc} - \frac{1}{c} = \frac{ab + bc + ac - 2ab}{2abc} = \frac{bc + ac - ab}{2abc} $$ Время, за которое работник А выполнит всю работу один: $$ t_А = \frac{1}{x} = \frac{2abc}{bc + ac - ab}\text{ (дней)}. $$ 2. Производительность работника Б равна разности производительности всех троих и совместной производительности А и В: $$ y = (x + y + z) - (x + z) = \frac{ab + bc + ac}{2abc} - \frac{1}{b} = \frac{ab + bc + ac - 2ac}{2abc} = \frac{ab + bc - ac}{2abc} $$ Время, за которое работник Б выполнит всю работу один: $$ t_Б = \frac{1}{y} = \frac{2abc}{ab + bc - ac}\text{ (дней)}. $$ 3. Производительность работника В равна разности производительности всех троих и совместной производительности А и Б: $$ z = (x + y + z) - (x + y) = \frac{ab + bc + ac}{2abc} - \frac{1}{a} = \frac{ab + bc + ac - 2bc}{2abc} = \frac{ab + ac - bc}{2abc} $$ Время, за которое работник В выполнит всю работу один: $$ t_В = \frac{1}{z} = \frac{2abc}{ab + ac - bc}\text{ (дней)}. $$ Ответ: работник А выполнит работу за $\frac{2abc}{bc + ac - ab}$ дней, работник Б — за $\frac{2abc}{ab + bc - ac}$ дней, работник В — за $\frac{2abc}{ab + ac - bc}$ дней.