ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 726

1) $x^3 - x = 0$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^2 - 1) = 0 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$ $x = 0$ или $x = 1$ или $x = -1$ Ответ: $-1; 0; 1$. --- 2) $x^4 + x^2 = 0$ Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $$ x^2(x^2 + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $x^2 = 0$ или $x^2 + 1 = 0$ 1. $x^2 = 0 \implies x = 0$; 2. $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$ — уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Ответ: $0$. --- 3) $x^4 - 8x^3 = 0$ Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки: $$ x^3(x - 8) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: $x^3 = 0$ или $x - 8 = 0$ $x = 0$ или $x = 8$ Ответ: $0; 8$. --- 4) $49x^3 + 14x^2 + x = 0$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(49x^2 + 14x + 1) = 0 $$ Выражение в скобках свернем по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 7x$, $b = 1$: $$ x(7x + 1)^2 = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: $x = 0$ или $(7x + 1)^2 = 0$ $7x + 1 = 0$ $7x = -1$ $x = -\frac{1}{7}$ Ответ: $-\frac{1}{7}; 0$. --- 5) $x^3 + x^2 - x - 1 = 0$ Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки: $$ (x^3 + x^2) - (x + 1) = 0 $$ $$ x^2(x + 1) - (x + 1) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки: $$ (x + 1)(x^2 - 1) = 0 $$ Разложим множитель $x^2 - 1$ по формуле разности квадратов: $$ (x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ (x + 1)^2(x - 1) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: $x + 1 = 0$ или $x - 1 = 0$ $x = -1$ или $x = 1$ Ответ: $-1; 1$. --- 6) $x^3 - 4x^2 - 25x + 100 = 0$ Сгруппируем слагаемые: $$ (x^3 - 4x^2) - (25x - 100) = 0 $$ $$ x^2(x - 4) - 25(x - 4) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки: $$ (x - 4)(x^2 - 25) = 0 $$ Разложим разность квадратов $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$: $$ (x - 4)(x - 5)(x + 5) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: $x - 4 = 0$ или $x - 5 = 0$ или $x + 5 = 0$ $x = 4$ или $x = 5$ или $x = -5$ Ответ: $-5; 4; 5$.