ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 593

1) Докажем тождество $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$. Преобразуем левую часть равенства, применив формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$ (a + b)^2 + (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2 $$ Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $$ 2(a^2 + b^2) $$ Левая часть равна правой части: $2(a^2 + b^2) = 2(a^2 + b^2)$. Тождество доказано. 2) Докажем тождество $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$. Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки по формулам сокращенного умножения: $$ (a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) $$ Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные: $$ a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 4ab $$ Левая часть равна правой части: $4ab = 4ab$. Тождество доказано. 3) Докажем тождество $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$. Преобразуем правую часть равенства, раскрыв квадрат суммы: $$ (a + b)^2 - 2ab = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab $$ Приведем подобные слагаемые: $$ a^2 + (2ab - 2ab) + b^2 = a^2 + b^2 $$ Правая часть равна левой части: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Тождество доказано. 4) Докажем тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$. Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $$ (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = ((ac)^2 + 2 \cdot ac \cdot bd + (bd)^2) + ((ad)^2 - 2 \cdot ad \cdot bc + (bc)^2) $$ $$ = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 $$ Слагаемые $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются: $$ a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 $$ Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки: $$ (a^2c^2 + a^2d^2) + (b^2c^2 + b^2d^2) = a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) $$ Вынесем общий многочлен $(c^2 + d^2)$ за скобки: $$ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) $$ Получили выражение, равное левой части равенства: $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$. Тождество доказано.