ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 556

Пусть данные натуральные числа равны $a$ и $b$. По условию задачи, при делении на 7 число $a$ даёт остаток 4, а число $b$ даёт остаток 3. Запишем эти числа в виде: $$ a = 7m + 4 $$ $$ b = 7n + 3 $$ где $m$ и $n$ — целые неотрицательные числа ($m \ge 0$, $n \ge 0$). Составим разность квадратов этих чисел и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ a^2 - b^2 = ((7m + 4) - (7n + 3))((7m + 4) + (7n + 3)) $$ Упростим выражение во вторых скобках: $$ (7m + 4) + (7n + 3) = 7m + 7n + 7 = 7(m + n + 1) $$ Подставим полученный результат в выражение для разности квадратов: $$ a^2 - b^2 = (7m - 7n + 1) \cdot 7(m + n + 1) = 7 \cdot (7m - 7n + 1)(m + n + 1) $$ Так как $m$ и $n$ — целые числа, то значение выражения $(7m - 7n + 1)(m + n + 1)$ также является целым числом. Следовательно, разность квадратов $a^2 - b^2$ представлена в виде произведения числа 7 и целого числа, а значит, делится нацело (кратна) 7. Если рассматривать разность квадратов в обратном порядке: $$ b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = 7 \cdot (-(7m - 7n + 1)(m + n + 1)) $$ Данное число также кратно 7. Утверждение доказано.