ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 550

Для доказательства разложим каждое выражение на множители с помощью формулы разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. 1) Представим число $9$ как $3^2$ и применим формулу разности квадратов: $$ (7n + 4)^2 - 9 = (7n + 4)^2 - 3^2 = (7n + 4 - 3)(7n + 4 + 3) = (7n + 1)(7n + 7) $$ Вынесем общий множитель $7$ из второй скобки: $$ (7n + 1) \cdot 7(n + 1) = 7(7n + 1)(n + 1) $$ При любом натуральном $n$ значение выражения $(7n + 1)(n + 1)$ является целым числом. Так как один из множителей равен $7$, всё произведение делится нацело на $7$. 2) Применим формулу разности квадратов: $$ (8n + 1)^2 - (3n - 1)^2 = ((8n + 1) - (3n - 1))((8n + 1) + (3n - 1)) $$ Раскроем внутренние скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (8n + 1 - 3n + 1)(8n + 1 + 3n - 1) = (5n + 2) \cdot 11n = 11n(5n + 2) $$ При любом натуральном $n$ значение выражения $n(5n + 2)$ является целым числом. Так как полученное произведение содержит множитель $11$, всё выражение делится нацело на $11$. 3) Применим формулу разности квадратов: $$ (3n + 7)^2 - (3n - 5)^2 = ((3n + 7) - (3n - 5))((3n + 7) + (3n - 5)) $$ Раскроем внутренние скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (3n + 7 - 3n + 5)(3n + 7 + 3n - 5) = 12(6n + 2) $$ Вынесем общий множитель $2$ из скобки: $$ 12 \cdot 2(3n + 1) = 24(3n + 1) $$ При любом натуральном $n$ значение выражения $3n + 1$ является целым числом. Так как в произведении есть множитель $24$, всё выражение делится нацело на $24$. 4) Применим формулу разности квадратов: $$ (7n + 6)^2 - (2n - 9)^2 = ((7n + 6) - (2n - 9))((7n + 6) + (2n - 9)) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (7n + 6 - 2n + 9)(7n + 6 + 2n - 9) = (5n + 15)(9n - 3) $$ Вынесем из первой скобки множитель $5$, а из второй скобки — множитель $3$: $$ 5(n + 3) \cdot 3(3n - 1) = 15(n + 3)(3n - 1) $$ При любом натуральном $n$ значение выражения $(n + 3)(3n - 1)$ является целым числом. Так как в произведении присутствует множитель $15$, всё выражение делится нацело на $15$.