ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 454

1) Преобразуем исходное выражение (в тексте задания опечатка: вместо $2^{525} - 2^{524}$ в учебнике дано выражение $25^{25} - 25^{24}$, так как степень двойки не делится на 3, а значит, не может делиться на 12): Вынесем общий множитель $25^{24}$ за скобки: $$ 25^{25} - 25^{24} = 25^{24} \cdot (25 - 1) = 25^{24} \cdot 24 $$ Так как множитель $24$ делится нацело на $12$ ($24 = 12 \cdot 2$), то и всё произведение делится нацело на $12$. Требуемое доказано. 2) Приведём все степени к основанию $2$, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $$ 16^4 = (2^4)^4 = 2^{16} $$ $$ 8^5 = (2^3)^5 = 2^{15} $$ $$ 4^7 = (2^2)^7 = 2^{14} $$ Подставим полученные степени и вынесем общий множитель $2^{14}$ за скобки: $$ 16^4 + 8^5 - 4^7 = 2^{16} + 2^{15} - 2^{14} = 2^{14} \cdot (2^2 + 2^1 - 1) = 2^{14} \cdot (4 + 2 - 1) = 2^{14} \cdot 5 $$ Представим $2^{14}$ как $2^{13} \cdot 2$: $$ 2^{14} \cdot 5 = 2^{13} \cdot (2 \cdot 5) = 2^{13} \cdot 10 $$ Так как один из множителей равен $10$, то всё произведение делится нацело на $10$. Требуемое доказано. 3) Приведём степень $36^5$ к основанию $6$: $$ 36^5 = (6^2)^5 = 6^{10} $$ Подставим в выражение и вынесем общий множитель $6^9$ за скобки: $$ 36^5 + 6^9 = 6^{10} + 6^9 = 6^9 \cdot (6^1 + 1) = 6^9 \cdot 7 $$ Представим $6^9$ в виде $6^8 \cdot 6$: $$ 6^9 \cdot 7 = 6^8 \cdot (6 \cdot 7) = 6^8 \cdot 42 $$ Так как один из множителей равен $42$, то всё произведение делится нацело на $42$. Требуемое доказано. 4) Представим основание $10$ как произведение $2 \cdot 5$, применив свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $$ 10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5 $$ Подставим в выражение и вынесем общий множитель $5^5$ за скобки: $$ 10^5 - 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 - 5^7 = 5^5 \cdot (2^5 - 5^2) $$ Вычислим значение выражения в скобках: $$ 5^5 \cdot (32 - 25) = 5^5 \cdot 7 $$ Так как один из множителей равен $7$, то всё выражение делится нацело на $7$. Требуемое доказано.