ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 345

Предположим противное: существуют такие значения переменных $x$ и $y$, при которых оба данных многочлена одновременно принимают отрицательные значения: $$ 5x^2 - 6xy - 7y^2 < 0 $$ $$ -3x^2 + 6xy + 8y^2 < 0 $$ Если оба числа отрицательны, то их сумма также должна быть строго меньше нуля. Сложим эти многочлены: $$ (5x^2 - 6xy - 7y^2) + (-3x^2 + 6xy + 8y^2) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ (5x^2 - 3x^2) + (-6xy + 6xy) + (-7y^2 + 8y^2) = 2x^2 + y^2 $$ Таким образом, сумма многочленов равна $2x^2 + y^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то для любых значений $x$ и $y$ выполняются неравенства: $$ x^2 \ge 0 \implies 2x^2 \ge 0 $$ $$ y^2 \ge 0 $$ Сумма двух неотрицательных выражений также является неотрицательной величиной: $$ 2x^2 + y^2 \ge 0 $$ Получили противоречие: с одной стороны, сумма двух отрицательных значений должна быть строго меньше нуля ($2x^2 + y^2 < 0$), а с другой стороны, выражение $2x^2 + y^2$ неотрицательно при любых значениях $x$ и $y$ ($2x^2 + y^2 \ge 0$). Следовательно, наше предположение неверно, и не существует таких значений $x$ и $y$, при которых данные многочлены одновременно принимали бы отрицательные значения. Что и требовалось доказать.