ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 32

**Доказательство:** 1. При делении натурального числа на $11$ возможны только следующие остатки: $$ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 $$ Всего существует $11$ различных вариантов остатка. 2. По условию дано $12$ натуральных чисел. Согласно принципу Дирихле («если распределить 12 предметов по 11 ящикам, то хотя бы в одном ящике окажется не менее двух предметов»), среди $12$ чисел обязательно найдутся хотя бы два числа, которые дают одинаковый остаток при делении на $11$. 3. Пусть эти два числа равны $a$ и $b$ (где $a \ge b$), а их общий остаток при делении на $11$ равен $r$. Тогда их можно записать в виде: $$ a = 11m + r $$ $$ b = 11k + r $$ где $m$ и $k$ — целые неотрицательные числа, а $r \in \{0, 1, 2, \dots, 10\}$. 4. Рассмотрим разность этих чисел: $$ a - b = (11m + r) - (11k + r) = 11m - 11k = 11(m - k) $$ Так как $m - k$ — целое число, то произведение $11(m - k)$ делится нацело на $11$. Следовательно, разность выбранных двух чисел $a - b$ делится нацело на $11$, что и требовалось доказать.