ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 257

Пусть первая, вторая и третья цифры шестизначного числа равны $a$, $b$ и $c$ соответственно, причём $a \neq 0$. По условию первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой, а третья — с шестой. Значит, число имеет вид $\overline{abcabc}$. Запишем это число в виде суммы разрядных слагаемых: $$ \overline{abcabc} = 100\,000a + 10\,000b + 1\,000c + 100a + 10b + c $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \overline{abcabc} = (100\,000a + 10\,000b + 1\,000c) + (100a + 10b + c) $$ Вынесем общий множитель $1000$ из первой скобки: $$ \overline{abcabc} = 1000(100a + 10b + c) + (100a + 10b + c) $$ Вынесем общий множитель $(100a + 10b + c)$ за скобки: $$ \overline{abcabc} = (100a + 10b + c)(1000 + 1) = 1001 \cdot (100a + 10b + c) $$ Выражение $100a + 10b + c$ представляет собой трёхзначное число $\overline{abc}$, следовательно: $$ \overline{abcabc} = 1001 \cdot \overline{abc} $$ Разложим число $1001$ на простые множители: $$ 1001 = 7 \cdot 143 = 7 \cdot 11 \cdot 13 $$ Таким образом: $$ \overline{abcabc} = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \overline{abc} $$ Так как один из множителей произведения делится на $7$, $11$ и $13$, то и само число делится нацело на $7$, $11$ и $13$, то есть кратно им. Что и требовалось доказать.