ГДЗ по алгебре 7 класс Мерзляк Базовый уровень номер - 1006

Пусть данные 100 различных натуральных чисел записаны в порядке возрастания: $$ a_1 < a_2 < a_3 < \dots < a_{100} $$ Наименьшими возможными 100 различными натуральными числами являются числа от $1$ до $100$: $$ 1, 2, 3, \dots, 100 $$ Найдём сумму этих ста наименьших чисел, сгруппировав слагаемые парами: $$ S = (1 + 100) + (2 + 99) + \dots + (50 + 51) = 101 \cdot 50 = 5050 $$ По условию сумма данных чисел равна $5051$. Сравним эту сумму с наименьшей возможной: $$ 5051 - 5050 = 1 $$ Сумма искомых чисел больше минимальной суммы всего на $1$. Так как все $a_k \ge k$, то в наборе $a_1, a_2, \dots, a_{100}$ ровно одно из чисел должно быть на $1$ больше соответствующего числа из набора $1, 2, \dots, 100$, а остальные $99$ чисел должны в точности совпадать с ними. Если увеличить на $1$ любое число от $1$ до $99$, то в наборе появятся два одинаковых числа (например, если увеличить число $1$ до $2$, то будет две двойки: $2, 2, 3, \dots, 100$), что противоречит условию задачи, так как все числа должны быть разными. Следовательно, увеличиться на $1$ может только самое большое число — сотое: $$ a_{100} = 100 + 1 = 101 $$ Остальные 99 чисел остаются без изменений: $1, 2, 3, \dots, 99$. Проверим сумму найденных чисел: $$ (1 + 2 + \dots + 99) + 101 = \frac{1 + 99}{2} \cdot 99 + 101 = 50 \cdot 99 + 101 = 4950 + 101 = 5051 $$ Все числа натуральные и различные. Ответ: числа от $1$ до $99$ и число $101$ ($1, 2, 3, \dots, 99, 101$).