ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 545

а) Докажем тождество: $$ (x^4 + y^4)(x^4 + y^4 - 2xy) - (x^4 + y^4 - 6xy)(x^4 + y^4 + 4xy) = 24x^2y^2 $$ Преобразуем левую часть тождества. Для удобства введем замену: пусть $x^4 + y^4 = A$, а $xy = B$. Тогда выражение в левой части примет вид: $$ A(A - 2B) - (A - 6B)(A + 4B) $$ Раскроем скобки: $$ A(A - 2B) = A^2 - 2AB $$ $$ (A - 6B)(A + 4B) = A^2 + 4AB - 6AB - 24B^2 = A^2 - 2AB - 24B^2 $$ Вычтем второе выражение из первого: $$ (A^2 - 2AB) - (A^2 - 2AB - 24B^2) = A^2 - 2AB - A^2 + 2AB + 24B^2 = 24B^2 $$ Вернемся к исходным переменным, подставив $B = xy$: $$ 24B^2 = 24(xy)^2 = 24x^2y^2 $$ Левая часть тождества равна правой части: $24x^2y^2 = 24x^2y^2$. Тождество доказано. б) Докажем тождество: $$ (a^3 + ab + 1)(3a^3 + 2ab) - (3a^3 - ab + 1)(a^3 + 2ab) = 2a^3 + 4a^2b^2 $$ Преобразуем левую часть тождества, раскрыв скобки в каждом произведении. 1) Раскроем скобки в первом произведении: $$ (a^3 + ab + 1)(3a^3 + 2ab) = 3a^6 + 2a^4b + 3a^4b + 2a^2b^2 + 3a^3 + 2ab $$ Приведем подобные слагаемые: $$ = 3a^6 + 5a^4b + 2a^2b^2 + 3a^3 + 2ab $$ 2) Раскроем скобки во втором произведении: $$ (3a^3 - ab + 1)(a^3 + 2ab) = 3a^6 + 6a^4b - a^4b - 2a^2b^2 + a^3 + 2ab $$ Приведем подобные слагаемые: $$ = 3a^6 + 5a^4b - 2a^2b^2 + a^3 + 2ab $$ 3) Найдем разность полученных многочленов: $$ (3a^6 + 5a^4b + 2a^2b^2 + 3a^3 + 2ab) - (3a^6 + 5a^4b - 2a^2b^2 + a^3 + 2ab) $$ $$ = 3a^6 + 5a^4b + 2a^2b^2 + 3a^3 + 2ab - 3a^6 - 5a^4b + 2a^2b^2 - a^3 - 2ab $$ Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $$ = (3a^6 - 3a^6) + (5a^4b - 5a^4b) + (2a^2b^2 + 2a^2b^2) + (3a^3 - a^3) + (2ab - 2ab) $$ $$ = 0 + 0 + 4a^2b^2 + 2a^3 + 0 = 2a^3 + 4a^2b^2 $$ Левая часть тождества равна правой части: $2a^3 + 4a^2b^2 = 2a^3 + 4a^2b^2$. Тождество доказано.